Kapitel 1-2 - Uvmat.dk

- 61 -Toneintervaller og musikskalaer.Den historiske udvikling af musikskalaer og toneintervaller, transponeringsmuligheder (at spille engiven melodi i en anden toneart end den er skrevet), renhed eller urenhed i klangbilledet, opfindelseaf nye musikinstrumenter eller ny stemning af kendte musikinstrumenter, så de passer til forskelligeskalaer osv. osv. er en omfattende sag at beskrive og ligger helt udenfor rammerne af denne bog.I det følgende gives blot nogle få grundlæggende informationer, hvorefter der fokuseres på den matematiskeside af emnet.Eksempel 2.1.29.Man kan ud fra høresansens anatomiske grundlag argumentere for – og ud fra tusindvis af psykologiskeeksperimenter dokumentere –, at mennesker vurderer forskellen imellem toner ud fra forholdetmellem tonernes frekvenser. (Frekvenser, dvs. antal svingninger pr. sekund, måles i Hertz (Hz)).Uanset tonernes ”højde” (dvs. frekvens) vil man altså opfatte det samme toneinterval imellem totoner, når blot forholdet mellem deres frekvenser er ens.Det vil derfor være oplagt at anvende logaritmefunktioner til beskrivelse af det sansemæssige indtrykaf et toneinterval (SIT) på følgende måde:⎛ f2SIT = k· ⎟ ⎞log c⎜⎝ f1⎠hvor k er en konstant, der er med til at fastlægge enheden sammen med c, der er logaritmefunktionensgrundtal, og hvor f 1 og f 2 er de to toners frekvenser.En almindelig anvendt enhed for SIT er en oktav, som svarer til en fordobling af frekvensen, (dvs.at 1 oktav svarer til, at f 2 = 2·f 1 ). Hvis vi lader c = 2, dvs. hvis vi bruger 2-talslogaritmen, så bliverk = 1, (overvej !!), og vi får følgende simple formel:SIT oktaver =⎛ f2log 2⎜⎝ f1⎟ ⎞⎠Ofte anvendes dog enheden millioktav, dvs. 1/1000 oktav, idet enheden oktav er for stor til beskrivelseaf diverse musikteoretiske emner f.eks. om finstemning af instrumenter.Som det måske er læseren bekendt – og som det omtales i det følgende eksempel – opdeles en oktavi 12 toner. Man har derfor også fundet det relevant at indføre en SIT-enhed, som kaldes cent, ogsom er fastlagt ved, at en oktav er 1200 cent.Der gælder altså:SIT millioktaver = 1000⋅ log ⎛ f2⎟ ⎞2⎜⎝ fog SIT cent = 1200⋅ ⎛ f21 ⎠⎟ ⎞log 2⎜⎝ f1⎠Uanset hvilken af de omtalte måleenheder, der anvendes for SIT, så har de den store fordel, at hvisman tager to intervaller, der ligger i forlængelse af hinanden, så fremkommer der et nyt interval,hvis størrelse blot findes som summen af de to oprindelige intervaller (noget der bestemt ikke er”naturgivent” på forhånd). Dette kan lidt mere præcist udtrykkes på følgende måde:Lad det ene interval SIT 1 være givet ved at det går fra tonen med frekvensen f 1 til tonen med frekvensenf 2 , medens det andet interval SIT 2 går fra tonen med frekvensen f 2 til tonen med frekvensenf 3 . (Frekvenserne f 1 , f 2 og f 3 er anført i voksende orden). Herved fremkommer der i alt et intervalSIT ialt fra tonen med frekvensen f 1 til tonen med frekvensen f 3 , hvorom der gælder:SIT 1 + SIT 2 = SIT ialt------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Steen Bentzen: ”Matematik for Gymnasiet. Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner – og matematiske modeller”