Kapitel 1-2 - Uvmat.dk

- 40 -Vi får dermed, at:log c (f(x)) = r⋅log c (x) + log c (b) = log c (x r ) + log c (b) = log c (b⋅x r )Da en logaritmefunktion er injektiv får vi hermed, at f(x) = b⋅x r , dvs. at f er en potentiel vækstfunktion.Hermed er 2) bevist.Antag herefter omvendt, at 2) er opfyldt, dvs. at f er af formen: f(x) = b⋅x r , hvor b > 0.Vi vil nu udregne log c (f(x)), hvor log c er den logaritmefunktion, der er anvendt til at konstruere delogaritmiske skalaer i det dobbeltlogaritmiske koordinatsystem:log c (f(x)) = log c (b⋅x r ) = log c (b) + log c (x r ) = log c (b) + r⋅log c (x).Hvis vi sætter q = log c (b) får vi i alt, at:log c (f(x)) = r⋅log c (x) + qSom omtalt ovenfor gælder der, at når vi i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem afsætter punkter(x,f(x)) på grafen for f, så afsætter vi i virkeligheden – p.gr.a. konstruktionen af de logaritmiskeskalaer – punkterne (log c (x), log c (f(x))) i et almindeligt koordinatsystem.Da log c (f(x)) = r⋅log c (x) + q ser vi dermed, at grafen for f bliver en ret linie i det dobbeltlogaritmiskekoordinatsystem. Hermed er sætningen bevist. ♥Som det fremgår af beviset for sætning 1.7.1, vil funktionen f(x) = b⋅x r i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystemhave en retlinet graf, som har hældningskoefficienten r målt i forhold til et almindeligtkoordinatsystem. Hvis vi fra et punkt på grafen går 1 cm udad (parallelt med 1.aksen), skal vialtså gå r cm opad (hvis r er negativ, svarer dette til |r| cm nedad). Dette omtales yderligere i detfølgende eksempel.Eksempel 1.7.2.Vi vil tegne graferne for funktionerne f(x) = 3⋅x 0,5 og h(x) = 8⋅x – 0,7 i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.Da vi ved, at det skal give rette linier, behøver vi kun at finde to støttepunkter forhver graf. Vi har (kontrollér), at f(1) = 3 og f(9) = 9, samt at h(1) = 8 og h(9) = 1,718. Graferne fårdermed det på figur 1.7.2 viste udseende (se næste side).Bemærk, at hvis vi ved grafen for f går 1 cm udad, så skal vi gå 0,5 cm opad, hvorimod vi ved grafenfor h skal gå 0,7 cm nedad. hvis vi går 1 cm udad.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Steen Bentzen: ”Matematik for Gymnasiet. Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner – og matematiske modeller”