Kapitel 1-2 - Uvmat.dk

- 18 -Øvelse 1.3.6.Bestem i hvert af følgende tilfælde tallet a, så der for alle x gælder:x −3xx 0,5xa) a = e b) a = e ♥Da funktionerne ln og e x begge er voksende funktioner, gælder der (overvej !), atln(x) < c ⇔ 0 < x < e c og a x < b ⇔ x⋅ln(a) < ln(b)hvor a, b og c er givne tal (a > 0, b > 0). Bemærk, at i den første ulighed er x > 0, idet Dm(ln) = R + .Dette kan bruges til at løse uligheder, hvori der optræder logaritme- eller eksponentialfunktioner.Eksempel 1.3.7.a) Uligheden: log 3 x < 1, 8 har løsningsmængden ] 0 ; 7,225 [ , idet vi har:11,8⋅ln3log 3 x < 1,8 ⇔ ⋅ ln x < 1, 8 ⇔ ln x < 1,8 ⋅ln3⇔ 0 < x < e ⇔ 0 < x < 7,225ln3b) Uligheden: 0,4 x > 7 har løsningsmængden ] –∞ ; – 2,124 [, idet vi har:0,4 x > 7 ⇔ ln(0,4 x ln7) > ln7 ⇔ x⋅ln(0,4) > ln7 ⇔ x < ⇔ x < – 2,124ln0,4hvor vi har anvendt, at ln(0,4) < 0. ♥Øvelse 1.3.8.Løs ulighederne:a) lnx < 1,92 b) e 2x > 15 c) log 2 (x) + log(x) > 20 d) 3 x > ln3♥Afslutningsvist skal det bemærkes, at der også i forbindelse med eksponentialfunktioner anvendesforskellig symbolik i litteraturen. Den naturlige eksponentialfunktion e x skrives undertiden: exp(x),(hvilket kan være en typografisk fordel, hvis man skal angive eksponentialfunktionen af et ”stort”udtryk).I lighed med logaritmefunktioner anvendes undertiden udtrykket exp a (x) for a x . Og tallet a kaldesda også grundtallet for eksponentialfunktionen. Vi har altså:exp a (x) = a x og exp e (x) = exp(x) = e xMed denne notation kan reglerne 2), 3), 4) og 5) i sætning 1.3.2 anføres på følgende måde:• exp a (x) = exp(x⋅lna)• ln(exp a (x)) = x⋅lna• expa(x1+ x 2 ) = expa(x1)⋅expa(x 2 )• exp a (– x) =1exp (x)a------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Steen Bentzen: ”Matematik for Gymnasiet. Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner – og matematiske modeller”