Kapitel 1-2 - Uvmat.dk

- 12 -Hvis disse punkter forbindes med en blød kurve (som antydet med den stiplede linie på figuren), sårkan vi ud fra denne kurve definere, hvad vi skal forstå ved 2 også når r ikke er et helt tal. Vi ser1,68f.eks., at 2 må fastlægges til en værdi omkring 3,25.En definition som den netop skitserede er imidlertid for ”løs”, idet de givne punkter kan forbindesmed en blød kurve på mange måder, og idet aflæsning ikke er præcist. Dette kan afhjælpes på følgendemåde:Som omtalt i afsnit 1.1 har funktionen log 2 en omvendt funktionn21log − . Ifølge sætning 1.1.6 gælderder for alle n ∈ Z, at: log 2 ( 2 ) = n⋅log 2 (2) = n , hvoraf vi ser, at: 2 = log 1 (n)Samtlige de givne punkter (n,n2 ) ligger altså på grafen for1log −21n2 − .(se figur 1..2.1 b)).Da log2 −1 (r)er defineret for alle r ∈ R, idet Dm( log2− ) = Vm(log 2 ) = R , kan vi altså for aller ∈ R fastsætte, at:r2 = log2 − 1 (r). Og da vi allerede ved, at denne fastsættelse stemmer overensnmed det kendte potensbegreb, idet vi ved, at: 2 = log2 −1 (n)for alle n ∈ Z, er der tale om en udvidelseaf det almindelige potensbegreb. ♥Inspireret af eksempel 1.2.1 giver vi følgende definition:Definition 1.2.2.For ethvert a > 0 , a ≠ 1, fastlægges værdien af a r ud fra logaritmefunktionen log a med grundtal a påfølgende måde:ra = log 1 (r)For a = 1 fastlægges, at 1 r = 1 for alle r ∈ R.a −for r ∈ RSom omtalt i eksempel 1.2.1 er der for a > 0 tale om en udvidelse af det kendte potensbegreb, idetlog a (a n ) = n⋅log a (a) = n for alle n ∈ Z, hvoraf vi ser, at: a n = loga −1 (n)for alle n ∈ Z, og idet 1 n = 1.Men bemærk, at selvom vi godt kan udregne f.eks. (–2) n for n ∈ Z, så findes der ingen udvidelse afdette potensbegreb. Udvidelsen forudsætter altså (som også nævnt), at a er et positivt tal.For enhver værdi af a skal vi ifølge definition 1.2.2 have kendskab til den tilsvarende logaritmefunktionlog a og dennes omvendte funktion. Det bliver dermed lidt besværligt, hvis vi f.eks. skalfastlægge og udregne værdien af et udtryk som:1−1−13,4−0,23------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Steen Bentzen: ”Matematik for Gymnasiet. Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner – og matematiske modeller”5⋅ 0,62π ⋅4,1, idet dette da er givet ved:log3,4− ( 5) ⋅ log0,62( π)⋅ log4,1( −0,23). Som det fremgår af den følgende sætning (og se ogsåeksempel 1.1.18), kan vi imidlertid nøjes med at benytte én bestemt logaritmefunktion, nemlig ln.Sætning 1.2.3.For alle a > 0 og alle r ∈ R gælder der:r −1) a = ln 1 (r ⋅ ln a)2)ra =ln( arr lnae ⋅3) ) = r ⋅ ln a