Volker Tesmer - Deutsche Geodätische Kommission

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3. Grundlagen der Ausgleichungsrechnung
Da im linearen Gauß-Markoff-Modell gearbeitet werden soll, muss der funktionale Zusammenhang E( y ) = f ( β)
linear sein bzw. gegebenenfalls linearisiert werden. Dazu wird die Funktion f(β ) unter Verwendung einer hinreichenden
Näherung β 0 für die Parameter durch eine Taylorentwicklung mit i = 1,2, K,
n und j = 1,2, K,
u approximiert:
⎛ ∂y
i ⎞
y = f ( β)
= f ( β 0 ) + ⎜ ⎟
⎜ ⎟
∆β
+ O 2 ≈ f ( β 0 ) + X ∆β
⎝ ∂β
j ⎠
Sind die Näherungswerte β 0 nicht genau genug, muss die später in diesem Abschnitt beschriebene Schätzung der
Parameter mit den Schätzwerten als verbesserten Näherungswerten wiederholt werden. Zur Vereinfachung der
Schreibweise wird im Folgenden kurz y anstelle von y − ( β ) und β für ( β − β 0 ) = ∆β
geschrieben.
Anmerkung: Den Beobachtungsgleichungen bei der VLBI-Parameterschätzung werden neben den eigentlichen
VLBI-Beobachtungen oft zusätzlich zwei Arten „künstlicher“ Information hinzugefügt:
f 0
- Manche Parameter (nicht die in Tabelle 2-1 des Abschnitts 2.3 beschriebenen primären Zielparameter) sind in
Einzelfällen durch die Beobachtungen nur sehr schwach bestimmt. Deshalb werden sie in der Regel durch
Pseudobeobachtungen („Constraints“) mit kleinen Gewicht stabilisiert, wobei der entsprechende Parameterwert
mangels besserem Wissen meist Null ist (mehr dazu in Abschnitt 2.1.4 unter „Troposphärische Refraktion“
und im einleitenden Teil von Kapitel 6 unter „Indirekte Auswirkungen verschiedener stochastischer Ansätze
auf die Parameterschätzung“).
- Mit VLBI-Beobachtungen lassen sich nicht direkt geozentrische Koordinaten von VLBI-Teleskopen ableiten.
Bei Bestimmung von Positionen muss stets ein Datumsdefekt sechs (drei Rotationen und drei Translationen)
behoben werden. Sollen auch Geschwindigkeiten ermittelt werden, sind 12 Freiheitsgrade zu definieren. Dafür
müssen den ursprünglichen Beobachtungsgleichungen geeignete Restriktionen durch Pseudobeobachtungen
oder Bedingungsgleichungen hinzugefügt werden (siehe dazu Abschnitt 2.4 unter „terrestrischer Referenzrahmen“
und Abschnitt 5.4.1).
Parameterschätzung nach der Methode der kleinsten Quadrate im Gauß-Markoff-Modell
Das in (3-1) bzw. (3-2) dargestellte Gleichungssystem hat wegen n > u keine eindeutige Lösung β . Eine mögliche
Lösung kann z.B. mit der Methode der kleinsten Quadrate gefunden werden, die eine „beste lineare unverzerrte
Schätzung“ oder auch „Best Linear Unbiased Estimation“ (BLUE) ist (z.B. NIEMEIER 2002, S. 114). Dafür sind
die Schätzwerte für β durch einen linearen Schätzer so zu ermitteln, dass die Quadratsumme der Abweichungen
der Beobachtungen y von den Schätzwerten ihrer Erwartungswerte s(E( y ) ) minimal wird:
( y s( E( y))
) 'P
( y − s(
E( y))
)
− → min .
Der Zusammenhang zu den Parametern wird mit (3-1) zu s(E( y )) = s( X β)
= X s( β)
hergestellt, womit folgende
Forderung formuliert werden kann:
Ω = ( y − X s(
β))'P
( y − X s(
β))
→ min .
Einen Extremwert hat Ω für
∂Ω
= 0
∂s(
β)
bei folgender Schätzung β ˆ der unbekannten Parameter:
ˆ 1
β = ( X'
P X)
− X'
P y .
(3-3)
(3-4)
(3-5)
(3-6)