Volker Tesmer - Deutsche Geodätische Kommission

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3.4 Akkumulation einzelner geschätzter Komponenten 47 wird hier ein Algorithmus vorgestellt, der zunächst das Sammeln der Informationen einzelner VLBI-Sessions getrennt voneinander erlaubt, die in einem zweiten Schritt akkumuliert werden können, um anschließend gemeinsam zu einer Schätzung beizutragen. Zur Herleitung eines solchen Algorithmus werden die Gleichungssysteme entsprechend (3-22) aufgestellt, wobei z.B. die Beobachtungen zweier Sessions A und B zu den gleichen zwei Komponenten θ 1 und θ 2 beitragen. Die nach (3-22) implizit in den Matrizen V1 und V2 enthaltenen Näherungswerte γ 1 und γ 2 der Komponenten müssen dabei jeweils für die gleiche Komponente in beiden Gleichungssystemen A und B identisch sein. Alle Parameter und Beobachtungen der Session A sollen zunächst als unabhängig von denen der Session B angenommen werden (mehr dazu im späteren Verlauf des Abschnitts). Für mit ⎛ ⎡y D⎜ ⎝ ⎢⎣ y A B ⎡X ⎢⎣ 0 A ⎤⎞ ⎡Σ yA ⎥⎦ ⎟ = ⎢ ⎠ ⎣ 0 0 ⎤ ⎡β A ⎤ ⎡y A = ⎤ + ⎡e A ⎤ X B ⎥⎦ ⎢⎣ β B ⎥⎦ ⎢⎣ y B ⎥⎦ ⎢⎣ e B ⎥⎦ yA 0 Σ yBy B ⎤ = ⎡θ1 ⎥ ⎦ ⎢⎣ V 1A + θ 0 2 V lässt sich zeigen, dass die in Gleichung (3-25) entwickelte Matrix W eine jeweils nach den beitragenden Gleichungssystemen getrennte Blockstruktur aufweist: −1 −1 1 Mit ( 1 − W A = Σy Ay A I − XA ( XA ' Σy Ay A XA ) − XA ' Σy Ay A ) −1 −1 1 und ( 1 − W B = Σy By B I − XB ( XB' Σy By B XB) − XB' Σy By B ) ist ⎡WA 0 W = ⎤ . ⎢⎣ 0 WB ⎥⎦ Damit ergibt sich die Matrix S entsprechend (3-28) als: ⎡sp( WA V S = ⎢⎣ sp( WA V ⎡S11A + S = ⎢⎣ S21A + S 1A 2A 11B 21B W W A A S S V V 12A 22A 1A 1A ) + sp( W ) + sp( W + S + S 12B 22B B B ⎤ = ⎡S ⎥⎦ ⎢⎣ S V V 11 21 1B 2B W W S S 12 22 B B ⎤ ⎥⎦ V V 1B 1B ) ) 2A sp( W sp( W Der in (3-27) eingeführte Vektor q kann wie folgt geschrieben werden: ⎡eˆ q ⎢ ⎢⎣ eˆ = ⎡q ⎢⎣ q + + ⎤ ⎡q1 = ⎤ ⎥⎦ ⎢⎣ q 2 ⎥⎦ A A θ V V 1 1A 2A V 1B W W −1 −1 −1 −1 A ' Σ y y 1A y y ˆ A + ˆ A A V Σ A A e e B ' Σ yBy B V1B Σ yBy B = −1 −1 −1 −1 A ' Σ y y 2A y y ˆ A + ˆ A A V Σ A A e e B ' Σ yBy B V2B Σ yBy B 1A 2A q q 1B 2B A A 0 + θ womit die Schätzung nach Gleichung (3-29) eine günstige Struktur besitzt: ⎡ + + ⎡ + = −1 s11A s11B s12A s12B = ⎤ q1A q1B θ ˆ S q ⎤ ⎢⎣ s 21A + s 21B s 22A + s 22B ⎥⎦ ⎢⎣ q 2A + q 2B ⎥⎦ . −1 eˆ eˆ V V B B 2 2A 2A ⎤ ⎥ ⎥⎦ V 2B ⎤ ⎥⎦ ) + sp( W ) + sp( W , B B V V 1B 2B W W B B (3-34) (3-35) V V 2B 2B ) ⎤ ) ⎥⎦ (3-37) (3-38) . (3-36) Die einzelnen sijA und sijB bzw. qiA und qiB mit i = 1,2 und j = 1,2 können so leicht den unabhängig voneinander aufgestellten Matrizen S und q der beiden Sessions A und B entnommen werden, ohne dabei Information zu verlieren. Das in (3-34) dargestellte Gleichungssystem ist allerdings ein einfach gehaltenes Modell. Die dafür notwendige Annahme, dass alle Parameter der Gleichungssysteme aller einzelnen Sessions unabhängig voneinander sind, trifft oft nicht zu. Zum Beispiel werden Positionen und lineare Geschwindigkeiten in der Regel aus den Beobachtungen
48 3. Grundlagen der Ausgleichungsrechnung aller Sessions gemeinsam geschätzt. Dabei werden pro Session zunächst datumsfreie Normalgleichungen aufgestellt, die anschließend durch Addieren entsprechender Elemente der Normalgleichungen kombiniert werden. Dieses Vorgehen ist in (3-39) für die Gleichungssysteme A und B durch die Koeffizientenmatrizen XAG und XBG der beiden linearen Funktionen angedeutet, wobei die gemeinsam geschätzten Parameter mit β G bezeichnet sind. Das so erweiterte Gleichungssystem lässt sich wie folgt formulieren: mit ⎡X ⎢⎣ X ⎛ ⎡y D⎜ ⎝ ⎢⎣ y A B AG BG X 0 A ⎤⎞ ⎡Σ yA ⎥⎦ ⎟ = ⎢ ⎠ ⎣ 0 ⎡β G ⎤ 0 ⎤ ⎢ ⎥ = ⎡y A ⎤ + ⎡e A ⎤ ⎥⎦ β A X B ⎢ ⎥ ⎢⎣ y B ⎥⎦ ⎢⎣ e B ⎥⎦ ⎣β B ⎦ yA 0 Σ yBy B ⎤ = ⎡θ1V1 ⎥ ⎦ ⎢⎣ A + θ 2V 0 2A θ V 1 1B 0 + θ V Bei einem solchen Ansatz bilden sich aber keine Strukturen wie in (3-38), mit denen ein rechentechnisch günstiger Algorithmus entwickelt werden könnte. Für eine Schätzung von Komponenten, zu denen die Beobachtungen aller VLBI-Sessions gemeinsam beitragen, müsste also z.B. bei gleichzeitiger Schätzung von Positionen und linearen Geschwindigkeiten tatsächlich ein gemeinsames, großes Gleichungssystem aufgestellt werden. Dies ist zum aktuellen Zeitpunkt aus Gründen der Rechenzeit und des Speicherplatzbedarfs angesichts der Dimensionen der dann auftretenden Gleichungssysteme nicht realisierbar (viele der auftretenden Matrizen hätten die Dimension n × n , wobei n ≈ 2 000 000 die Anzahl aller Beobachtungen aller Sessions ist). Deshalb ist es nicht möglich, endgültig zu klären, wie stark sich geschätzte Varianz- und Kovarianzkomponenten, die mit dem rechentechnisch vereinfachten Ansatz nach (3-34) bestimmt wurden, tatsächlich von solchen Komponenten unterscheiden, für deren Schätzung der vollständige Ansatz entsprechend (3-39) verwendet würde. In Abschnitt 5.4.1 wird aber untersucht, wie stark geschätzte Varianz- und Kovarianzkomponenten bei Schätzung verschiedener primärer VLBI-Zielparameter variieren. Es ist davon auszugehen, dass so gewonnene Aussagen Rückschlüsse auf die Auswirkungen der in (3-34) vorgenommenen Vereinfachungen gegenüber dem in (3-39) beschriebenen Ansatz erlauben. 2 2B ⎤ ⎥⎦ . (3-39)
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