Volker Tesmer - Deutsche Geodätische Kommission

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3. Grundlagen der Ausgleichungsrechnung
nete Größen repräsentieren die entsprechende Größe des g-ten Iterationsschritts). Dafür berechnen sich die Näherungswerte
(γ ) 2 des zweiten Iterationsschrittes mit den Schätzungen (θ ˆ)
1 des ersten Schritts und den für diese
Schätzung verwendeten Näherungswerten (γ ) 1 zu ( γ ) 2 = ( θˆ
) 1 ( γ)
1 , mit der wiederum (θ ˆ)
2 geschätzt werden.
Nach g Iterationen ist die Schätzung konvergiert, wenn alle k Komponenten als θ ) 1 ˆ
θ ) ( ˆ θ ) ( ˆ ( 1 g ≈ 2 g ≈K
≈ k g ≈
erhalten werden. Die Näherungswerte (γ ) g der g-ten iterierten Schätzung lauten somit:
⎡(
γ )
⎤
⎡ θ ) ˆ (
1 g 1 g-1
1 g−1
⎢
⎥ g-1
⎢ 2 g ⎥
= = ⎢ 2 g-1
2 g−1
g ⎢ ⎥
⎥ = ( ) 1∏
( ˆ)
h
⎢ ⎥ ⎢
⎥ h=
1
⎣ k g ⎦ ⎢ θ k ) g-1
( γ k ) g−1
⎥
ˆ
θ ) ( γ )
(
ˆ ( γ )
( γ)
(
γ θ
L
L
( γ )
⎣
( γ
)
⎤
⎦
mit h = 1,2, K,
g .
Die Varianzen und Kovarianzen der k Komponenten der g-ten Iteration lassen sich dann für v = 1,2, K,
k und
w = 1,2, K,
k mit (3-30) wie folgt ableiten:
( θ v ) g ( γ 2
v ) g ) ˆ Var (
2
v g θ v ) g
ˆ ( γ ) Var(
( v g v g θ w ) g ( γ w ) g )
ˆ
θ ) ( γ ) , (
ˆ Cov (
v g w g ( v g θ w ) g ) ˆ θ ) , ( ˆ
( γ ) ⋅ ( γ ) ⋅ Cov (
= ( γ 2 -1
v ) g ⋅ 2 ⋅ ( Svv
) g
= bzw.
= ( γ
-1
v ) g ⋅ ( γ w ) g ⋅ 2 ⋅ ( Svw
) g
= .
Bei einer Schätzung von Varianz- und Kovarianzkomponenten sollten die Beobachtungen keine groben oder
systematischen Fehler enthalten und die einzelnen Komponenten jeweils durch eine ausreichend große Anzahl
von Beobachtungen bestimmt sein. Außerdem muss das gewählte Modell der Komponenten, also die in (3-22)
beschriebenen Matrizen Tm bzw. Vm, so formuliert werden, dass sie tatsächlich existierende stochastische Eigenschaften
von Beobachtungsgruppen beschreiben. Die geschätzten Komponenten müssen außerdem voneinander
zu trennen sein.
Verkürzte Schätzung der Varianz- und Kovarianzkomponenten im Gauß-Markoff-Modell
Die beschriebene Schätzung von Varianz- und Kovarianzkomponenten ist unter Umständen sehr rechenaufwändig.
Bei dem z.B. in FÖRSTNER (1979) beschriebenen verkürzten Verfahren wird zur Schätzung der Komponenten
nicht wie in Gleichung (3-29) die Inverse der in (3-28) beschriebenen Matrix S benötigt, zu deren Aufstellung
viele Rechenoperationen durchzuführen sind. Entscheidend für die Anwendbarkeit des verkürzten Algorithmus ist
allerdings die Voraussetzung, dass die Beobachtungsgruppen, für die gemeinsame stochastische Eigenschaften
angenommen werden, sich nicht überschneiden. Wird also für jede Beobachtung maximal eine Varianz- oder
Kovarianzkomponente geschätzt, ergeben sich bei der verkürzten Schätzung im Falle von Konvergenz schließlich
die gleichen k Komponenten θˆ wie bei einer Schätzung mit dem zuvor beschriebenen, vollen Algorithmus. Dafür
ist die verglichen mit der Matrix S entsprechend (3-28) deutlich einfachere Hauptdiagonalmatrix H mit
v = 1,2, K,
k aufzustellen:
θ ˆ = Hq , wobei
1
H vv = .
sp(
W V )
Ersparte Rechenoperationen werden zwar zum Teil durch schlechtere Konvergenz dieses Verfahrens wieder
verschenkt, in einigen Arbeiten (z.B. SATIRAPOD et al. 2002) wird aber davon berichtet, dass von die verkürzten
Algorithmen insgesamt benötigte Rechenzeit bei gleichen Konvergenzkriterien verglichen mit dem unverkürzten
Verfahren deutlich kleiner ist.
3.4 Akkumulation einzelner geschätzter Komponenten
In dieser Arbeit sollen vor allem Komponenten geschätzt werden, zu denen die Informationen der Beobachtungen
aller VLBI-Sessions beitragen. Ist das Modell der Komponenten richtig formuliert (repräsentiert es also tatsächlich
existierende stochastische Eigenschaften von Beobachtungsgruppen), wird eine solche Schätzung deutlich
stabiler sein als eine, für die nur die Beobachtungen einzelner VLBI-Sessions verwendet werden. Um eine solche
Schätzung aus den Beobachtungen aller Sessions zu ermöglichen, müssen die Komponenten aus einem gemeinsamen
Gleichungssystem bestimmt werden, wodurch aber sehr große Matrizen zu handhaben wären. Deshalb
v
(3-33)
(3-31)
(3-32)