Mathematische Modellierung mit Differentialgleichungen

wobei ε = v 2 /gR, und
y(0) = 0, y ′ (0) = θ
L x′ (0) = 1. (1.7)
Wegen ε ≪ 1 lösen wir das vereinfachte Problem
Die Lösung lautet
y ′′ = −1, τ > 0, y(0) = 0, y ′ (0) = 1.
2 τ
y(τ) = τ − , τ ≥ 0.
2
Der Aufprallzeitpunkt ist definiert durch y(τ ∗ ) = 0, τ ∗ > 0, also
Dies beendet Schritt 4.
τ ∗ = 2.
In Schritt 5 interpretieren wir die gefundene Lösung: Dazu transformieren wir die
Variablen zurück in die dimensionsbehafteten Variablen:
T = θ · τ ∗ = 2v
. (1.8)
g
Der Aufprallzeitpunkt ist also proportional zur Anfangsgeschwindigkeit. Typische Werte
für T sind
2 · 102
T ≈
103 2 · 104
. . .
103 s = 0.2 . . . 20 s.
Wie genau ist dieses Ergebnis bzw. kann es verbessert werden (Schritt 6)? Wir können
das Problem (1.6)–(1.7) zwar nicht explizit lösen, sind aber in der Lage, eine implizite
Formel für die Lösung anzugeben. Dazu multiplizieren wir (1.6) mit y ′ und integrieren in
(0, τ):
1
2 y′ (τ) 2 − 1
2 =
Schreiben wir
so folgt
τ
0
1
2 (y′ (s) 2 ) ′ τ
ds = −
0
y(τ)
2 2
− + 1
ε(εy + 1) ε
0
y ′ (s) ds
=
(εy(s) + 1) 2
dy
dτ =
2 2
− + 1,
ε(εy + 1) ε
−1/2
1
ε(εy(τ) + 1)
1
− . (1.9)
ε
τ
dy = dt = τ, τ ≥ 0. (1.10)
Der Aufprallzeitpunkt τ ∗ ist das Doppelte des Umkehrzeitpunktes τ0, definiert durch
y ′ (τ0) = 0, denn zur Zeit τ0 hat der Gegenstand seine maximale Höhe erreicht. Aus (1.9)
folgt
− 1
2 =
1 1
−
ε(εy(τ0) + 1) ε ,
10
0