Mathematische Modellierung mit Differentialgleichungen

Betrachte als Beispiel die Situation, in der in x < 0 anfangs die Fahrzeugdichte mo-
derat und in x > 0 maximal ist: uℓ = 0, ur = −1. Dann ist die Schockgeschwindigkeit
s = −1/2. Die Staulinie bewegt sich also nach links, d.h., der Stau vergrößert sich (Ab-
bildung 4.5).
u = 0
l
t
u = −1
r
Abbildung 4.5: Charakteristiken für uℓ = 0 und ur = −1.
Fall 2: uℓ < ur. Die Funktion (4.14) ist auch hier eine Lösung, da der obige Beweis
kein Vorzeichen von uℓ − ur benötigt hat. Allerdings ist auch
⎧
⎪⎨ uℓ : x < uℓt
u2(x, t) = x/t
⎪⎩
ur
:
:
uℓt ≤ x ≤ urt
x > urt
eine schwache Lösung (Abbildung 4.6).
Übungsaufgabe: Beweisen Sie dies.
Man kann sogar zeigen, daß es unendlich viele Lösungen gibt. Was ist passiert? Unser
Lösungsbegriff ist so schwach, daß die Eindeutigkeit von Lösungen verloren gegangen ist.
Wir benötigen eine zusätzliche (physikalische) Bedingung, die die Eindeutigkeit wieder
sicherstellt. Es zeigt sich, daß der Begriff Entropie das Gewünschte liefert. Wir sagen,
daß eine schwache Lösung die Entropiebedingung von Oleinik erfüllt, wenn entlang jeder
Unstetigkeitskurve x = ψ(t)
u 2 ℓ /2 − v2 /2
uℓ − v
≥ ψ ′ (t) ≥ u2 r/2 − v 2 /2
ur − v
x
(4.16)
für alle v zwischen uℓ und ur gilt. Im Falle der Lösung (4.14) folgt aus ψ ′ (t) = s und
(4.16)
1
2 (uℓ + v) ≥ s ≥ 1
2 (ur + v)
die Bedingung uℓ ≥ ur – Widerspruch. Da die Funktion u2 stetig ist, ist die Ungleichung
(4.16) gegenstandslos.
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