Mathematische Modellierung mit Differentialgleichungen

Beispiel 5.1 Wie lang sollte der metallene, nicht isolierte Griff einer Eisenpfanne sein,
damit man sich nicht die Hände verbrennt?
Wir modellieren den Griff durch das Intervall [0, L]. Sei θ(x, t) die Temperatur des
Griffes. Wir nehmen an, daß der Griff zur Zeit t = 0 Raumtemperatur hat. An der Stelle
x = 0 sei der Griff in Kontakt mit der Pfanne, die eine Maximaltemperatur von 200 ◦ C
habe:
θ(0, t) = 200 ◦ C.
Wie lautet die Randbedingung am Ende des Griffes (x = L)? Es ist sicherlich unrealistisch
anzunehmen, daß der Griff gegenüber der Umgebung völlig isoliert ist, da ein kleiner
Wärmestrom stattfindet:
J(L, t) = −λθx(L, t) = 0.
Andererseits ist es unrealistisch anzunehmen, daß der Wärmefluß in die Umgebung so
rasch ist, daß das Ende des Griffes Raumtemperatur aufweist:
θ(L, t) = 20 ◦ C.
Wir kombinieren stattdessen diese beiden Randbedingungen:
−θx(L, t) = α(θ(L, t) − 20 ◦ C).
Liegt die Temperatur über der Raumtemperatur, gibt es einen Wärmestrom in die Um-
gebung, anderenfalls erwärmt sich der Griff. Die Konstante α > 0 kann nur empirisch
bestimmt werden. Wir nehmen an, daß α = 0.3/cm gilt.
Die Temperatur erfülle die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung
θt − λ
n0c θxx = 0, x ∈ (0, L), t > 0.
Für genügend große Zeiten erwarten wir, daß sich die Temperatur auf einen stationären
Zustand einpendelt. Verschwinden die zeitlichen Änderungen (θt = 0), löst die stationäre
Temperaturverteilung das Randwertproblem
θxx = 0, x ∈ (0, L),
θ(0) = 200 ◦ C, −θx(L) = α(θ(L, t) − 20 ◦ C).
Die allgemeine Lösung lautet θ(x) = ax + b. Die Konstanten a und b können wir aus den
Randbedingungen bestimmen; dies ergibt die Lösung
θ(x) = −180 ◦ αx
αL + 1 + 200◦C. Soll die Temperatur am Griffende 40 ◦ C nicht überschreiten, ergibt sich die Grifflänge aus
40 ◦ C ≥ θ(L) = −180 ◦ C αL
αL + 1 + 200◦ C
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