Mathematische Modellierung mit Differentialgleichungen

Reales
Problem
Spezifikation
des
Problems
Mathematische
Formulierung
Mathematisches
Modell
Mathematische
Analyse
Lösung des
Modells
Mathematisches
Ergebnis
Interpretation
der
Lösung
Abbildung 1.1: Der Modellierungskreislauf.
ggf.
Verfeinerung
des Modells
numerische Verfahren zur Lösung der Gleichung notwendig. Welche Verfahren sind in
diesem Fall angebracht?
4. Lösung des Modells: Nachdem die mathematische Struktur des Problems identifi-
ziert ist, kann das Modell mit Hilfe analytischer und numerischer Methoden gelöst werden.
Dafür sind für die Anwendungen geeignete Werte der Parameter zu wählen. Werden nu-
merische Techniken verwendet, ist sicherzustellen, daß die numerische Lösung tatsächlich
die Lösung des mathematischen Problems mit hinreichender Genauigkeit approximiert.
5. Interpretation der Lösung: In diesem Schritt wird untersucht, inwiefern die mathe-
matische Lösung das reale Problem approximiert. Stimmt die Größenordnung der Lösung
mit der erwarteten Lösung überein? Wie groß ist der Gültigkeitsbereich der Approxima-
tion? Können die Resultate durch Experimente validiert werden?
6. Verfeinerung des Modells: Die mathematischen Resultate können Hinweise geben,
ob eine in der Modellierung vorgenommene Vereinfachung zu einem unrealistischen Ergeb-
nis führt. In diesem Fall müssen das Modell oder die mathematischen Techniken verbessert
werden. Welche Modellierungsannahmen sollen abgeschwächt werden? Müssen verfeinerte
numerische Methoden zur Lösung verwendet werden? Dies führt zu einer neuen Spezifi-
kation des realen Problems bzw. zu einer neuen mathematischen Formulierung, und der
Modellierungskreislauf beginnt von neuem, bis ein zufriedenstellendes Ergebnis erzielt
wird.
In den folgenden Kapiteln stellen wir einige konkrete Fragestellungen vor, die wir
exemplarisch mittels der obigen Modellierungsschritte lösen. Die Probleme repräsentie-
ren einerseits typische Phänomene wie Dynamik, Wellen, Strömungen und Diffusion und
andererseits Beispiele aus verschiedenen Anwendungsgebieten wie Biologie, Chemie, Geo-
wissenschaften, Physik und Wirtschaftswissenschaften. Insbesondere modellieren wir
den Krankheitsverlauf HIV-positiver Personen (Biologie),
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