Mathematische Modellierung mit Differentialgleichungen

Variable: x cm
t s
Dimension
Parameter: g cm/s 2
R cm
v cm/s
Tabelle 1.1: Auflistung aller Variablen und Parameter.
als charakteristische Länge und R/v als charakteristische Zeit zu wählen. Damit erhalten
wir dimensionslose Variablen
y := x
R
und τ := t
. (1.3)
R/v
Wie sieht die entsprechende dimensionslose Gleichung aus? Es folgt
und
y ′′ = d2y =
dτ 2
R
2 1
v R
d2x R
= −
dt2 v2 y ′ (0) = dy
dτ
gR 2
(Ry + R)
R x(0)
(0) =
v R
= −gR
2 v2 1
(y + 1) 2
= 1.
Setzen wir ε = v 2 /gR, lautet das dimensionslose Problem
εy ′ = −
1
(y + 1) 2 , τ > 0, y(0) = 0, y′ (0) = 1. (1.4)
Bevor wir das Problem (1.4) weiter analysieren, erklären wir genauer die allgemeine Vor-
gehensweise des Entdimensionalisierens von Gleichungen.
Seien dazu die Parameter α1, . . . , αn gegeben, wobei αk die Einheit cm ℓkg mks tk (k =
1, . . . , n) besitzen. Wir schreiben dies kürzer als
[αk] = (ℓk, mk, tk).
Beispielsweise gilt [g] = (1, 0, −2) und [ε] = (0, 0, 0). Sei weiter α ein dimensionsloser
Parameter. Wir setzen voraus, daß mathematische Modelle von realen Problemen immer in
eine dimensionslose Form gebracht werden können, indem die dimensionslosen Parameter
α als Produkte von Potenzen der ursprünglichen Parameter gewählt werden. Daraus folgt,
daß Zahlen b1, . . . , bn existieren, so daß
α =
n
k=1
7
α bk
k .