Mathematische Modellierung mit Differentialgleichungen

Für eine präzisere Definition betrachten wir eine Abbildung F : B1 × [0, 1] → B2,
wobei (B1, · 1) und (B2, · 2) zwei Banachräume seien. Wir suchen Näherungen des
Problems
F (xε, ε) = 0. (1.37)
Es ist naheliegend, eine Lösung x0 des sogenannten reduzierten Problems
F (x0, 0) = 0
als eine Näherung von xε zu verwenden. Um eine bessere Approximation zu finden, kann
man versuchen, den Ansatz
xε,n :=
n
k=0
in (1.37) einzusetzen, die linke Seite nach Potenzen von ε zu entwickeln und einen Koef-
ε k xk
fizientenvergleich für ε k durchzuführen. Kann man
entwickeln, so folgt
also für
n
0 = F
=
k=0
F (x, ε) =
n
j=0
ε k xk + O(ε n+1
), ε =
Fj(x)ε j + O(ε n+1 ) (ε → 0)
n
j=0
Fj
n
k=0
n
Fj(x0) + F ′ j(x0)εx1 + . . . ε j + O(ε n+1 ),
j=0
ε 0
ε 1
: F0(x0) = 0,
: F ′ 0(x0)x1 + F1(x0) = 0 usw.
ε k xk + O(ε n+1
) ε j + O(ε n+1 )
Wir nennen nun die Näherung xε,n konsistent, wenn das Residuum rε := F (xε,n, ε) für
ε → 0 gegen Null konvergiert:
F (xε,n, ε)2 → 0 (ε → 0).
Ist es möglich, die Näherungen x0, . . . , xn zu berechnen, und ist xε,n konsistent, so nennen
wir xε,n eine formal asymptotische Entwicklung der Ordnung n von xε, und das Problem
(1.34) heißt regulär gestört, wenn für alle n ∈ N eine formal asymptotische Entwicklung
existiert. Anderenfalls nennen wir das Problem singulär gestört.
Was geschieht bei singular gestörten Problemen? Dazu betrachten wir zwei Beispiele.
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