Mathematische Modellierung mit Differentialgleichungen

Für Anfangsgeschwindigkeiten größer als √ 2ω überschlägt sich das Pendel. Diese Situation
wollen wir hier ausschließen. Setzen wir den Ausdruck für θmax in (1.16) ein, so erhalten
wir eine Formel für die Schwingungsdauer:
θmax
dθ
T = 4
2ω2 (cos θ − 1) + v2 mit θmax
= arccos 1 − v2
2ω2
.
0
Übungsaufgabe: Berechnen Sie das Integral
T = 4
θmax
dθ
√
2ω2 cos θ − 1 + v2 /2ω2 0
numerisch für verschiedene Werte von v 2 /2ω 2 . Wie lautet die Schwingungsdauer, wenn
v 2 /2ω 2 → 0 bzw. v 2 /2ω 2 → 1?
Es gibt übrigens eine einfache physikalische Interpretation der Formel (1.14), geschrie-
ben als
m
2 Lθ′ (t) 2 + mg(1 − cos θ(t)) = m
2 Lv2 + mg(1 − cos θ0). (1.17)
Der Term (m/2)Lθ ′ (t) 2 kann als eine kinetische Energie und mg(1−cos θ0) als eine poten-
tielle Energie interpretiert werden. Dann bedeutet (1.17) gerade, daß die Gesamtenergie
des Systems
E(t) = Ekin(t) + Epot(t) = m
2 Lθ′ (t) 2 + mg(1 − cos θ(t))
für alle Zeiten t ≥ 0 konstant ist.
Wir kehren wieder zu dem Problem der vibrierenden Waschmaschine zurück. Der Ein-
fachheit halber nehmen wir an, daß sich die Waschmaschinentrommel um ihre horizontale
Achse dreht und nur in vertikaler Richtung vibrieren kann. Wir modellieren die Waschma-
schine als ein System, das aus einer gefüllten Waschmaschinentrommel, einer Feder und
einer Dämpfung besteht (siehe Abbildung 1.4). Der Schwerpunkt der Wäsche befinde sich
um die Länge R vom Trommelmittelpunkt entfernt. Wir bezeichnen mit M das Gewicht
der Trommel, mit m das effektive Gewicht der Wäsche und mit ω0 die Umdrehungsfre-
quenz der Trommel. Sei x(t) die Auslenkung der Trommel von ihrer Ruhelage. Nach dem
Newtonschen Gesetz gilt:
Mx ′′ = Rückstellkraft + Reibungskraft + Anregungskraft.
Die Rückstellkraft lautet für kleine Auslenkungen x ≪ 1 gerade −kx, wobei k eine Pro-
portionalitätskonstante sei. Wir nehmen an, daß die Reibungskraft proportional zur Ge-
schwindigkeit der vertikalen Auslenkung ist, −rx ′ , mit einer Proportionalitätskonstanten
r > 0. Die Wäsche in der Trommel werde angeregt durch die der Auslenkung R sin ω0t
entsprechenden Kraft,
m d2
dt 2 (R sin ω0t) = −mRω 2 0 sin ω0t.
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