Mathematische Modellierung mit Differentialgleichungen

Um die Exponenten b1, . . . , bn zu bestimmen, verwenden wir
(0, 0, 0) = [α] =
=
n
k=1
cm bkℓk g bkmk s bktk
n
bkℓk,
k=1
n
bkmk,
Dies ergibt das lineare Gleichungssystem für b1, . . . , bn mit Koeffizienten ℓk, mk und tk:
n
ℓkbk = 0,
k=1
k=1
n
mkbk = 0,
k=1
n
k=1
bktk
.
n
tkbk = 0. (1.5)
Nach Voraussetzung besitzt das Gleichungssystem mindestens eine nicht-triviale Lösung.
Wieviele (linear unabhängige) Lösungen gibt es? Sei n ∗ die Anzahl der linear unabhängi-
gen Lösungen, d.h., n∗ ist die Dimension des Kerns der Koeffizientenmatrix
⎛
ℓ1
⎜
⎝ m1
· · ·
· · ·
⎞
ℓn
⎟
mn ⎠ .
t1 · · · tn
Dann ist n ∗ die Anzahl der relevanten dimensionslosen Parameter. Sind nämlich b =
(b1, . . . bn) und b = ( b1, . . . bn) zwei linear abhängige Lösungen des Gleichungssystems,
d.h., b = λ b, so folgt für die entsprechenden Parameter
α =
n
k=1
α bk
k und α =
daß α = α λ , und wir können etwa α durch α ersetzen. Es gilt (für n ≥ 3) 0 ≤ n ∗ < n,
denn n ∗ = n bedeutet, daß die Koeffizientenmatrix eine Nullmatrix sein muß, und dies
k=1
n
k=1
würde einem bereits dimensionslosen Problem entsprechen.
α bk
k ,
Im Beispiel des geworfenen Gegenstandes haben wir die Parameter
und damit die Koeffizientenmatrix
⎛
[g] = (1, 0, −2), [R] = (1, 0, 0), [v] = (1, 0, −1)
⎜
⎝
1 1 1
0 0 0
−2 0 −1
Wegen n ∗ = 1 existiert genau ein dimensionsloser Parameter, nämlich die Lösung (−1, −1,
2) von (1.5). Dies entspricht unserem Parameter
⎞
⎟
⎠ .
ε = g −1 R −1 v 2 = v2
gR .
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