Mathematische Modellierung mit Differentialgleichungen

Da die Erdoberfläche M keinen Rand hat, sind keine Randbedingungen notwendig.
Das obige Problem ist verhältnismäßig komplex, da M eine Mannigfaltigkeit ist. Die
Differentialopertoren div und ∇ sind dementsprechend in den Koordinaten von M zu for-
mulieren. Wir betrachten eine vereinfachte Situation, die es erlaubt, das Problem explizit
zu lösen:
Wegen der Rotationssymmetrie der Erdkugel betrachten wir die Gleichung (5.7) auf
einem Längengrad, dargestellt durch das Intervall [−1, 1], wobei x = −1 den Südpol
und x = 1 den Nordpol modelliere.
Wir sind nur an stationären Zuständen interessiert, so daß θt = 0.
Die Temperatur an den Polen sei −10 ◦ C.
Die Wärmeleitfähigkeit λ0 sei konstant.
Wir lösen also (5.1) auf dem Intervall (−1, 1):
−λ0θxx = Ra,b(θ), x ∈ (−1, 1), (5.8)
θ(−1) = θ(1) = −10 ◦ C.
Streng genommen ist dies nicht richtig, da der Operator div(λ0∇θ) = λ0△θ entlang eines
Längengrades nicht gleich λ0θxx ist; wir modellieren die Erwärmung dennoch mit der
Gleichung (5.8). Mit
folgt
wobei
u := θ
10◦ ϱ
+ 1 und λ :=
C λ0
u ′′ + λg(u) = 0, x ∈ (−1, 1), u(−1) = u(1) = 0, (5.9)
g(u) =
ε : u ≤ 1 (Eis),
1 : u > 1 (Wasser).
Wir erwarten, daß physikalisch sinnvolle Lösungen von (5.9) um den Äquator x = 0
symmetrisch sind, und suchen nur solche Lösungen. Da g(u) unstetig ist, können wir keine
klassischen, zweimal stetig differenzierbaren Lösungen erwarten. Die Lösungen können
allenfalls einmal stetig differenzierbar sein. Um (5.9) auf x ∈ (0, 1) lösen zu können,
benötigen wir eine Randbedingung an x = 0. Wir behaupten, daß u ′ (0) = 0 gilt. Aus der
Symmetrie von u um x = 0 und der formalen Taylor-Entwicklung folgt
u(x) = u(0) + u ′ (0)x + O(x 2 ),
u(x) = u(−x) = u(0) − u ′ (0) + O(x 2 ) (x → 0),
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