Mathematische Modellierung mit Differentialgleichungen

infolge der Vibrationen von ihrem Standort zu entfernen. Eine Möglichkeit, die Schwin-
gungen zu bremsen, besteht darin, eine Dämpfung in der Schwingungsrichtung einzubau-
en. Der Hersteller plant, eine größere Trommel in seine Maschinen einzubauen. Er hat
Befürchtungen, daß wegen des nun möglichen höheren Befüllungsgewichtes die Vibratio-
nen im Betrieb zu groß werden könnten.
Frage: Wie groß muß die Dämpfungskraft in der neuen Waschmaschine sein, damit die
Schwingungen nicht stärker als in der ursprünglichen Maschine sind?
Bevor wir diese Frage präzisieren und beantworten können, müssen wir uns mit dem
Phänomen der Schwingung beschäftigen. Zuerst betrachten wir ein Pendel (siehe Abbil-
dung 1.3). Sei θ = θ(t) die Auslenkung des Pendels in Bogenmaß von der Ruhelage. Die
Pendelmasse betrage m.
L
θ
θL
L
−mg
F
θ
−mg sin θ
Abbildung 1.3: Darstellung der auf ein Pendel wirkenden Kräfte.
Ist das Pendel um den Betrag θL ausgelenkt, wirkt die Gravitationskraft −mg auf das
Pendel, genauer gesagt nur die tangentiale Komponente −mg sin θ. Man nennt −mg sin θ
auch die Rückstellkraft. Aus dem Newtonschen Gesetz folgt
oder
m d2
θL = −mg sin θ
dt2 θ ′′ + ω 2 sin θ = 0, t > 0, (1.12)
wobei ω 2 := g/L. Diese gewöhnliche Differentialgleichung beschreibt die Dynamik des
Pendels. Es sind noch die Anfangsbedingungen
θ(0) = θ0, θ ′ (0) = v (1.13)
vorzugeben. In diesem Abschnitt arbeiten wir mit unskalierten Gleichungen, da wir keine
“kleinen” Parameter haben.
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