Mathematische Modellierung mit Differentialgleichungen

Beispiel 1.7 Wir betrachten
−εu ′′ + u ′ + u = 0, x ∈ (0, 1), u(0) = 1, u(1) = 0. (1.43)
Da wir die Randwerte der gesuchten Funktion u(x) vorgegeben haben, nennt man (1.43)
ein Randwertproblem. Das reduzierte Problem
u ′ + u = 0, x ∈ (0, 1), u(0) = 1, u(1) = 0
hat keine Lösung, da die allgemeine Lösung von u ′ + u = 0, nämlich u(x) = ce −x mit
c ∈ R, nicht beide Randbedingungen gleichzeitig erfüllen kann. Es gibt also nicht einmal
eine formale asymptotische Näherung der Ordnung null. Das Problem (1.43) ist folglich
singulär gestört. Wir erwarten, daß sich eine asymptotische Näherung im Innern von (0, 1)
wie ce −x verhält, aber in der Nähe von x = 0 bzw. x = 1 eine Grenzschicht aufweist, um
die Randbedingungen erfüllen zu können. Um das Verhalten in der Nähe der Grenzschicht
analysieren zu können, verwenden wir eine Art “mathematische Lupe”, genauer eine Va-
riablentransformation, etwa
ξ = x
,
εα α > 0,
in der Nähe von x = 0. Wir nennen ξ eine Grenzschichtvariable. Die Funktion v(ξ) =
u(x/ε α ) erfüllt wegen v ′ = ε α u ′ die Gleichung
−ε 1−2α v ′′ + ε −α v ′ + v = 0, ξ ∈ (0, ε −α ). (1.44)
Beachte, daß u ′ = du/dx, aber v ′ = dv/dξ. Die Frage ist nun, welches α zu wählen
ist. Wir wollen ein α auswählen, so daß (1.44) im Grenzwert ε → 0 die “maximale”
Information enthält. Wir gehen heuristisch vor, da das Auffinden von Grenzschichten nur
schwer formalisiert werden kann. Die Vorgehensweise ist wie folgt. Wir setzen je zwei
Exponenten in (1.44) gleich und setzen voraus, daß die übrigen Exponenten nicht kleiner
sind:
−α = 0 ≤ 1 − 2α impliziert α = 0 : das ist uninteressant;
1 − 2α = 0 ≤ −α impliziert α ≤ 0 und α = 1
2
1 − 2α = −α ≤ 0 impliziert α ≥ 0 und α = 1.
Der letzte Fall erscheint sinnvoll, so daß wir α = 1 wählen.
: Widerspruch;
Die Grenzschichtvariable an x = 0 lautet ξ = x/ε. Analog erhalten wir für die Grenz-
schichtvariable η an x = 1 die Beziehung η = (1 − x)/ε. Wir wissen allerdings noch nicht,
ob es eine Grenzschicht nur an x = 0 oder nur an x = 1 oder ob es zwei Grenzschichten
gibt. Um dies herauszufinden, machen wir den Ansatz
uasym(x) = u(x) + u0(ξ) + u1(η)
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