Mathematische Modellierung mit Differentialgleichungen

Mit der Substitution z = e −y/2 und dy = −2dz/z sowie der Abkürzung z0 := e −ψ(0)/2 folgt
2q(x − h) =
e −ψ(x)/2
1
1
= −2
e−ψ(x)/2 = −2z0
= −2z0
cosh −1
2dz
z e ψ(0) − 1/z 2
z0dz
z 2 − z 2 0
z
z0
z0
1
e −ψ(x)/2
cosh −1
1
− cosh −1
−ψ(x)/2 e
. (5.29)
Diese Gleichung definiert die Lösung ψ(x) implizit für gegebenes ψ(0). Da ψ monoton
fallend auf [0, h] ist, wird die maximale Temperatur an der Stelle x = 0 angenommen. Die
Temperatur an x = 0 lautet wegen (5.29) und cosh −1 (1) = 0
oder
− 2qh = −2e −ψ(0)/2 cosh −1 (e ψ(0)/2 )
1
0
q
cosh
2 heψ(0)/2
= e ψ(0)/2 .
α
1
¡
¡
x 0
α
0
Abbildung 5.4: Die Gleichung cosh(αx) = x besitzt keine (α1), genau eine (α0) oder zwei
(α2) Lösungen, wobei α2 < α0 < α1.
Setze α := q/2h. Die Gleichung cosh(αx) = x besitzt keine Lösung, wenn α hinreichend
groß ist, und zwei Lösungen, wenn α hinreichend klein ist (Abbildung 5.4). Es existiert
also ein kritischer Wert α0, bei dem die nichtlineare Gleichung genau eine Lösung x0
besitzt. Die Werte x0 und α0 bestimmen wir aus den beiden Gleichungen
x0 = cosh(α0x0), 1 = d
dx cosh(α0x)|x=x0 = α0 sinh(α0x0).
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α
2
x
z0