Pythagoras & Co. - Griechische Mathematik vor Euklid - Mathematik.de

Figürliches und andere Besonderheiten beim Umgang mit Zahlen
Das Verhältnis, das die Pythagoreer im 6. und 5. Jahrhundert (v.Chr.) zu Zahlen hatten,
unterscheidet sich in vielerlei Hinsicht von unserem heutigen. Sie fanden damals auch
noch Gerechtigkeit, Seele und Vernunft in der Welt der Zahlen. Aristoteles schreibt:
Während dieser Zeit und schon vorher befaßten sich die sogenannten
Pythagoreer mit der Mathematik und brachten sie zuerst weiter, und darin
eingelebt hielten sie deren Prinzipien für die Prinzipien alles Seienden. Da
nämlich die Zahlen in der Mathematik der Natur nach das Erste sind, und sie
in den Zahlen viele Ähnlichkeiten (Gleichnisse) zu sehen glaubten mit dem,
was ist und entsteht, mehr als in Feuer, Erde und Wasser, wonach ihnen (z.B.)
die eine Bestimmtheit der Zahlen Gerechtigkeit sei, eine andere Seele oder
Vernunft, wieder eine andere Reife und so in gleicher Weise so gut wie jedes
einzelne, und sie ferner die Bestimmungen und Verhältnisse der Harmonien in
Zahlen fanden; – da ihnen also das übrige seiner ganzen Natur nach den
Zahlen zu gleichen schien, die Zahlen aber sich als das Erste in der gesamten
Natur zeigten, so nahmen sie an, die Elemente der Zahlen seien Elemente alles
Seienden und der ganze Himmel sei Harmonie und Zahl.
(Aristoteles: Metaphysik. Buch I, Kap. 5, 985b) 34
Wir werden uns hier nur mit den deutlich banaleren Aspekten der Zahlen beschäftigen.
Auch dazu haben die Pythagoreer vieles beigetragen.
Wenn hier von Zahlen die Rede ist, so geht es um natürliche Zahlen. Die Eins gehört
dabei aber nicht dazu. Das Zählen begannen die Pythagoreer einerseits ganz
selbstverständlich mit der Eins, anderseits war die Eins für sie keine richtige Zahl. Eins
und Einheit waren bei ihnen zwei eng verwobene und kaum getrennte Begriffe. Die Wahl
der Einheit bestimmt, wonach oder was gezählt wird. Das Zählen ist aber etwas anderes
als die Wahl der Einheit. Da die Wahl der Einheit aber auch so ausgedrückt werden kann,
dass man bestimmt was als Eins gilt, so schien den Pythagoreern die Eins keine Zahl wie
andere zu sein.
Mehr noch: Für die Pythagoreer ist die Eins zugleich gerade wie ungerade und eine
Fundamentalgröße der Zahlen wie des Himmels:
Als Elemente der Zahl aber betrachteten sie das Gerade und das Ungerade,
von denen das eine begrenzt sei, das andere unbegrenzt, das Eine aber
bestehe aus diesem beiden (denn es sei sowohl gerade als ungerade) die Zahl
aber aus dem Einen, und aus Zahlen, wie gesagt, bestehe der ganze Himmel.
(Aristoteles: Metaphysik. Buch I, Kap. 5, 986a) 35
Diesen ganzen philosophisch aufgeplusterten Ballast zu den Zahlen im allgemeinem und
dem Einem im besonderen, kann man (zum Glück!) praktisch vollständig ignorieren, wenn
man sich den mathematischen Teilen der pythagoreischen Zahlentheorie nähert. Selbst
dass die Eins nicht als eine natürliche Zahl wie andere gilt, spielt dort kaum eine Rolle.
Für die mathematische Praxis ergibt sich aus all dem eigentlich nur ein einziger wichtiger
Punkt: Die Pythagoreer meiden die Bruchrechnung. Sie haben eine heilige Scheu davor,
die Eins zu zerteilen. Der Philosoph Platon schließt sich der entschiedenen Ablehnung der
Bruchrechnung durch die Pythagoreer vorbehaltlos an. Er lässt die Figur SOKRATES, die er
im hier einschlägigen Dialog Der Staat als Sprachrohr benutzt, folgendes ausführen:
Denn du weißt ja, wie es die geschulten Mathematiker machen: wenn einer
versucht die reine Eins in Gedanken zu zerteilen, so lachen sie ihn aus und
weisen ihn ab, und wenn du sie zerstückelst, so antworten sie mit
Vervielfältigung derselben, immer darauf bedacht zu verhüten, daß die Eins
34 Aristoteles: Philosophische Schriften. Bd 5. Übersetzt von Hermann Bonitz. Hamburg: Meiner Verlag 1995. S. 14f
35 Aristoteles: Philosophische Schriften. Bd 5. Übersetzt von Hermann Bonitz. Hamburg: Meiner Verlag 1995. S. 15f
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