Pythagoras & Co. - Griechische Mathematik vor Euklid - Mathematik.de

Es gibt beim obigen Reidemeister-Zitat noch einen Aspekt, der einer kurzen Kommentierung
würdig ist: Reidemeister sieht die Ablösung des Quadrats der Geometrie von den
sinnlich wahrnehmbaren Quadraten unserer Erfahrungswelt in Zusammenhang mit der
Herausbildung eines auf logischer Herleitung beruhenden Beweiskonzeptes. Er schreibt:
So ist es hier also das Denken, das hier über das Sein und das Nichtsein eines geometrischen
Tatbestandes entscheidet. Damit vollzieht sich etwas Außerordentliches. Das anschauliche Quadrat,
von dem die Geometrie handelte, entschwindet beim näheren Zugriff der Untersuchung. Und der
Geometer ist nicht mehr imstande, das Quadrat selbst aufzuweisen, auf das sich seine Gedanken
gerichtet haben.
Hier ist zumindest als Ergänzung anzumerken, dass wichtige Abstraktionsschritte zur
Herausbildung eines mathematischen Konzeptes von geometrischen Figuren durchaus
auf dem Boden der Anschauung möglich sind und aller Wahrscheinlichkeit nach auch dort
zuerst vollzogen wurden. Die mathematische Anschauung verbindet die Erfahrungen der
sinnlichen Wahrnehmungen erstaunlich leichtgängig mit mathematischen Idealisierungen.
In der mathematischen Idealisierung hat eine Linie keine Breite und ein Punkt keine
Ausdehnung. Die Leichtigkeit und Selbstverständlichkeit mit der diese (und noch viele
andere) Idealisierungen von beinahe jedermann in die mathematische Anschauung
eingebunden werden können, ist bis heute eine wichtige Grundlage des schulischen
Geometrie Unterrichts.
Unabhängig vom Übergang zum rein logischen Beweisen kann sich die Mathematik also
von einer zu engen Anbindung an die sinnlichen Erfahrungen ablösen und so abstrakte
(nur gedachte) Figuren (auch und gerade) einem stark anschaulichen Zugang zur
Geometrie zu Grunde legen.
Man sieht z.B. bei der Abb. 13 (s. Seite 25), dass man beliebig viele Pentagramme
ineinander-schachteln kann, eben weil man die Breite der Linien ganz beiläufig ignoriert.
Man entwickelt im Kopf eine Vorstellung, zu der die sinnlich wahrnehmbare Skizze nur
inspiriert. Eine Linie mit Breite symbolisiert jeweils eine Linie ohne Breite. Nur deswegen
kann der im vorherigen Abschnitt vorgestellte Argumentationsgang überhaupt zum
Ergebnis führen, dass Seite und Diagonale im regelmäßigen Fünfeck kein gemeinsames
Maß haben. Dabei wird übrigens unter Heranziehung der mathematischen Anschauung
die nicht so ohne weiteres anschaulich darstellbare Eigenschaft der Inkommensurabilität
von Seite und Diagonale begründet. Wie man dabei sieht: Eine gut kultivierte
mathematische Anschauung ist ein unglaublich leistungsfähiges Hilfsmittel. Es ist bis
heute das wichtigste Instrument zur Entdeckung mathematischer Sachverhalte. Bei der
Veröffentlichung eines Resultats wird dann aber (aus gutem Grunde) meist ein Beweis
beigefügt, der ohne Rückgriff auf die Anschauung auskommt.
Was die historische Funktion der Anschauung in der griechischen Mathematik angeht,
möchte ich zum Schluss dieses Abschnitts auf einen Aspekt hinweisen, der gerne
übersehen wird. Sowohl die anschauliche Begründung wie die logische Herleitung von
Resultaten sind fehleranfällige Vorgänge. Angesichts der menschlichen Neigung zum
Irrtum ist es sehr vorteilhaft, wenn man zwei von einander unabhängige Talente hat, die
sich wechselseitig ergänzen und auch zur wechselseitigen Überprüfung dienen können.
Die Talente zur Begründung durch die Einsichten der Anschauung und zur logischen
Herleitung wurden in der Mathematik in Kooperation kultiviert. Dass diese sich
wechselseitig stützende Kultivierung durchaus nicht überflüssig war, sieht man, wenn man
einen Blick auf die griechische Philosophie wirft: Die Philosophen Parmenides und Zenon
aus Elea gelangten bei ihren Versuchen zum streng logischen Argumentieren zur
trugschlüssig erzielten Behauptung, dass es keinerlei Veränderung geben könne. Sie
kannten bzw. akzeptierten keine Kontrolle ihrer Schlüsse durch die Anschauung. 50
50 Es gehört zu den Kuriosa unserer Geschichtsschreibung, dass es bei der Frage nach den Wurzeln der griechischen
Kultur des logischen Beweisens immer noch Standard ist, auf die trügerische Philosophie eines Parmenides zu verweisen,
wohingegen die brillanten Leistungen der beweisenden Mathematik höchstens am Rande erwähnt werden.
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