Pythagoras & Co. - Griechische Mathematik vor Euklid - Mathematik.de

Eudoxos hat also die Proportionentheorie entwickelt, um auch dann noch
Größenverhältnisse (Proportionen) betrachten zu können, wenn diese sich nicht durch
Quotienten natürlicher Zahlen (positive Bruchzahlen) beschreiben lassen. (Die Details
dieser sehr abstrakten Theorie werden hier übergangen.)
Heute verwenden wir in solchen Fällen irrationale Zahlen (Beispiele dafür sind √2 oder die
Zahl , das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser). Irrationale Zahlen sind
reelle Zahlen, die sich nicht als der Quotient aus einer natürlichen und einer ganzen Zahl
darstellen lassen (die also keine Bruchzahlen sind). Irrationale Zahlen haben eine niemals
endende, niemals periodisch werdende Dezimalbruchentwicklung und waren in der Antike
unbekannt.
Die Proportionenlehre des Eudoxos ist nicht so leistungsstark wie ein voll ausgereiftes
Konzept der reellen Zahlen (unter Einschluss der irrationalen Zahlen). Sie reichte aber
aus, um eine geometrische Ähnlichkeitslehre zu entwickeln. Euklid stellt in Buch VI der
Elemente eine auf der Proportionenlehre des Eudoxos fußende Ähnlichkeitslehre vor.
Ähnlich heißen dabei zwei Figuren dann, wenn sie in ihren Winkeln übereinstimmen und
die jeweils gleiche Winkel umfassenden Seiten dasselbe Größenverhältnis aufweisen
(wenn diese Seiten in Proportion stehen, so die antike Formulierung).
Eine grundlegende Sanierung der in der Antike wahrgenommenen begrenzten
Ausdrucksstärke der Arithmetik findet erst im 19. Jahrhundert statt (siehe Dedekindsche
Schnitte). Nun werden endlich auch irrationale Zahlen auf ein sicheres Fundament gestellt.
Auch wenn Eudoxos die Leistung Dedekinds nicht ganz erreichte, so verwendet er bei
seiner Proportionenlehre doch erstaunlich modern wirkende Definitionen:
Man sagt, daß Größen in demselben Verhältnis stehen, die erste zur zweiten
wie die dritte zur vierten, wenn bei beliebiger Vervielfältigung die
Gleichvielfachen der ersten und dritten den Gleichvielfachen der zweiten und
vierten gegenüber, paarweise entsprechend genommen, entweder zugleich
größer oder zugleich gleich oder zugleich kleiner sind;
Und die dasselbe Verhältnis habenden Größen sollen in Proportion stehend
heißen; (Euklid: Elemente. Buch V, Definitionen) 71
In Kommentierung dieser Stelle schreibt H. Wußing:
Diese Definition der Proportion benötigt ersichtlich keinerlei Voraussetzungen
über die Kommensurabilität der Größen. Zugleich ist sie geeignet, alle
bekannten Sätze über Proportionen beweisen zu können, eine Leistung, die es
gestattet, die Verbindung zwischen der geometrischen Algebra, der
Proportionenlehre, der Ähnlichkeitslehre einerseits und einer das
Inkommensurable, Irrationale umfassenden Größenlehre andererseits in
mathematisch korrekter Weise herzustellen. Doch war es noch ein weiter Weg
bis zum Begriff der Irrationalzahl. 72
Zum Abschluss dieses Abschnitts noch eine Bemerkung: In Zusammenhang mit Eudoxos
taucht immer wieder die Frage auf, ob man das sogenannte archimedische Axiom nicht
eigentlich in Axiom des Eudoxos umbenennen müsste. Nun, Eudoxos hat das sogenannte
archimedische Axiom unzweifelhaft schon benutzt, aber wahrscheinlich war auch er nicht
der erste. 73 Wollen wir denn wirklich die mathematischen Bezeichnungen solcher
altehrwürdigen Konzepte stets an den aktuellen Stand der mathematik-historischen
Forschung anpassen?
Man sollte andere Mittel und Wege finden können, um dem Genie des Eudoxos jene
Würdigung zu Teil werden zu lassen, die es unzweifelhaft verdient.
71 Euklid: Die Elemente. Hrsg. u. übersetzt von Clemens Thaer. Frankfurt a.M.: Harri Deutsch, 3. Aufl. 1997, S. 91
72 Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Bd 1. Berlin Heidelberg: Springer Verlag 2008. S. 185
73 Vgl. Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Orient und Abendland. Wiesbaden: Matrix Verlag 2005. S. 115f
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