Karl Heinz Wagner

134 Karl Heinz Wagner
4.2 Umwandlung von Formeln in Klauselform
Für die Umwandlung von Formeln in Klauselform gelten die folgenden Regeln:
1. Beseitigung des Bikonditionals (Bikond):
p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
2. Beseitigung des Konditionals (Kond):
p ⇒ q ≡ ¬p ∨ q
3. Skopus der Negation verringern (De Morgan):
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
¬ xP (x) ≡ x¬P (x)
¬ xP (x) ≡ x¬P (x)
4. Doppelte Negation beseitigen (Neg):
¬¬p ≡ p
5. Variablen umbenennen, so daß jeder Quantor eindeutig eine Variable bindet.
Da Variablen nur Platzhalter sind, wird dadurch der Wahrheitswert der
Formel nicht beeinflußt. Zum Beispiel, die Formel
xP (x) ∨ xQ(x)
würde dadurch zu
xP (x) ∨ yQ(y)
umgewandelt werden. Dies dient der Vorbereitung für den nächsten Schritt:
6. Bringe die Formel in die Pränexe Normalform, indem alle Quantoren an
den Anfang der Formel gestellt werden, ohne jedoch ihre relative Reihenfolge
zu verändern. Dies ist möglich, weil es durch den vorherigen Schritt keine
Namenskonflikte geben kann. Eine Pränexe Normalform besteht aus einem
Präfix aus Quantoren gefolgt von einer quantorenfreien Matrix. Beispiel:
x y
Präfix
P (x) ∨ Q(y)
Matrix
7. Eliminiere die Existenzquantoren. Dies ist ein etwas schwierig nachzuvollziehender
Schritt. Eine Formel, die eine existenzquantifizierte Variable
enthält, z.B. x Bundeskanzler(x) behauptet, daß es irgendein Indivduum
gibt, das für x eingesetzt eine wahre Aussage ergibt. Wir wissen nicht, wer
dieses Individuum ist, sondern nur, daß es existieren muß. Wir können diesem
Individuum einen vorläufigen Namen geben — sagen wir s1 — und nehmen
an, daß es für x eingesetzt die Existenzaussage wahr macht. Die Formel
x Bundeskanzler(x) kann damit in Bundeskanzler(s1) transformiert werden.
Man bezeichnet einen solchen “vorläufigen” Namen als Skolemkonstante.
Betrachten wir nun die Aussage “Jeder hat einen Vater”: x y V ater(y, x).
In diesem Falle steht der Existenzquantor im Skopus eines Allquantors. Es