Karl Heinz Wagner

128 Karl Heinz Wagner
Regel 1:
1,
f(P ∧ Q) =
0,
gdw f(P ) = 1 und f(Q) = 1
sonst
Regel 2:
0,
f(P ∨ Q) =
1,
gdw f(P ) = 0 und f(Q) = 0
sonst
Regel 3:
0,
f(P ⇒ Q) =
1,
gdw f(P ) = 1 und f(Q) = 0
sonst
Regel 4a: f(¬P ) = 0, gdw f(P ) = 1
4b: f(¬P ) = 1, gdw f(P ) = 0
3. PS-Grammatik als Axiomensystem im Rahmen der Prädikatenlogik
Man kann, wie oben erwähnt, eine PS-Grammatik als ein Axiomensystem auffassen,
das aus einer Menge von Allaussagen und Einzelaussagen über Wortketten
und Wörtern besteht. Die prädikatenlogische Interpretation der PS-Grammatik
(1.1) sieht beispielsweise wie folgt aus:
(3.1.)
R1: x y(NP (x) ∧ V P (y) ⇒ Satz(x ⌢ y))
R2: x y(Det(x) ∧ N(y) ⇒ NP (x ⌢ y))
R3: x(Name(x) ⇒ NP (x))
R4: x y(V t(x) ∧ NP (y) ⇒ V P (x ⌢ y))
R5: x(V i(x) ⇒ V P (x))
Lexikon:
Det(the)
N(boy)
N(girl)
N(ball)
Name(John)
Name(Mary)
V t(loves)
V t(kicked)
V i(jumped)
V i(laughed)
Nehmen wir beispielsweise an, es solle gezeigt werden, daß der Ausdruck
the girl laughed ein grammatischer Satz ist. Dazu müssen wir mit den Regeln
und dem Lexikon der Grammatik als Prämissen beweisen, daß die Aussage
Satz(the ⌢ girl ⌢ laughed) aus der Grammatik G ableitbar ist, daß also gilt:
G ⊢ Satz(the ⌢ girl ⌢ laughed). Die formale Logik stellt dafür Mittel zur
Verfügung, auf die hier nicht weiter eingegangen werden kann. Zum Verständnis
des nachstehenden Beweises genügen folgende Hinweise: