Karl Heinz Wagner

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128 Karl Heinz Wagner Regel 1: 1, f(P ∧ Q) = 0, gdw f(P ) = 1 und f(Q) = 1 sonst Regel 2: 0, f(P ∨ Q) = 1, gdw f(P ) = 0 und f(Q) = 0 sonst Regel 3: 0, f(P ⇒ Q) = 1, gdw f(P ) = 1 und f(Q) = 0 sonst Regel 4a: f(¬P ) = 0, gdw f(P ) = 1 4b: f(¬P ) = 1, gdw f(P ) = 0 3. PS-Grammatik als Axiomensystem im Rahmen der Prädikatenlogik Man kann, wie oben erwähnt, eine PS-Grammatik als ein Axiomensystem auffassen, das aus einer Menge von Allaussagen und Einzelaussagen über Wortketten und Wörtern besteht. Die prädikatenlogische Interpretation der PS-Grammatik (1.1) sieht beispielsweise wie folgt aus: (3.1.) R1: x y(NP (x) ∧ V P (y) ⇒ Satz(x ⌢ y)) R2: x y(Det(x) ∧ N(y) ⇒ NP (x ⌢ y)) R3: x(Name(x) ⇒ NP (x)) R4: x y(V t(x) ∧ NP (y) ⇒ V P (x ⌢ y)) R5: x(V i(x) ⇒ V P (x)) Lexikon: Det(the) N(boy) N(girl) N(ball) Name(John) Name(Mary) V t(loves) V t(kicked) V i(jumped) V i(laughed) Nehmen wir beispielsweise an, es solle gezeigt werden, daß der Ausdruck the girl laughed ein grammatischer Satz ist. Dazu müssen wir mit den Regeln und dem Lexikon der Grammatik als Prämissen beweisen, daß die Aussage Satz(the ⌢ girl ⌢ laughed) aus der Grammatik G ableitbar ist, daß also gilt: G ⊢ Satz(the ⌢ girl ⌢ laughed). Die formale Logik stellt dafür Mittel zur Verfügung, auf die hier nicht weiter eingegangen werden kann. Zum Verständnis des nachstehenden Beweises genügen folgende Hinweise:
Logikgrammatik 129 Konjunktion Sind P und Q Axiome, dann kann die Konjunktion P ∧ Q zur Axiomenmenge hinzugefügt werden. Allbeseitigung Da eine allquantifizierte Aussage für alle Individuen eines Individuenbereiches gelten soll, muß sie auch für ein einzelnes Individuum gelten. Ist x p(x) ein Axiom, dann kann die Aussage p(a) zur Axiomenmenge hinzugefügt werden, wenn a zum Individuenbereich von x gehört. Modus Ponens Modus Ponens ist eines der bekanntesten Schlußschemata. Es hat die folgende Form: p ⇒ q p ... q Ein gültiges Schlußschema geht bei Ersetzung der Aussagenvariablen in einen gültigen Schluß über. Setzen wir beispielsweise p = Hansi kann fliegen und q = Hansi ist ein Vogel, dann erhalten wir: Wenn Hansi fliegen kann, ist er ein Vogel Hansi kann fliegen ... Hansi ist ein Vogel Der Beweis, daß die Wortkette the girl laughed ein Satz ist, daß also gilt Satz(the ⌢ girl ⌢ laughed), sieht folgendermaßen aus: (1) Det(the) Lexikon (2) N(girl) Lexikon (3) Det(the) ∧ N(girl) (1),(2) Konjunktion (4) Det(the) ∧ N(girl) ⇒ NP (the ⌢ girl) R2, Allbeseitigung (5) NP (the ⌢ girl) (3),(4) Modus Ponens (6) V i(laughed) Lexikon (7) V i(laughed) ⇒ V P (laughed) R5, Allbeseitigung (8) V P (laughed) (6),(7) Modus Ponens (9) NP (the ⌢ girl) ∧ V P (laughed) (5),(8) Konjunktion (10) NP (the ⌢ girl) ∧ V P (laughed) ⇒ Satz(the ⌢ girl ⌢ laughed) R1 (11) Satz(the ⌢ girl ⌢ laughed) (9),(10) Modus Ponens
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