PHET II Formelsammlung

Mathematische Grundlagen
Komplexe Zahlen
Algebraische Form Trigonometrische / Polar /
imaginäre Einheit: i =
Exponentialform
√ −1 i2 = −1 − i2 = 1
z = a + i · b z = |z|·(cosϕ + i · sin ϕ)
= |z|·e iϕ
e iϕ
mit mit
a = Re{z} & b = Im{z} a = |z| · cosϕ & b = |z| · sin ϕ
wobei
|z| = z = √ a 2 + b 2
ϕ = arctan b
Addition: z1 + z2 (a1 + a2) + i · (b1 + b2)
a
Subtraktion: z1 − z2 (a1 − a2) − i · (b1 − b2)
Multiplikation: z1 · z2 (a1 ·a2 −b1 ·b2)+i(a1 ·b2 +a2 ·b1) z1 · z2 · ei(ϕ1+ϕ2) Division: z1
a1a2 + b1b2 a2b1 − a1b2
+ i ·
z1
· ei(ϕ1−ϕ2) z2
Komplex konjugierte
Größe zu z:
a 2 2 + b2 2
a 2 2 + b2 2
z∗ = a − i · b z∗ = |z| · (cos ϕ − i · sin ϕ)
z2
= |z| · e −iϕ
e −iϕ
z + z∗ = 2 · a ; z · z∗ = a2 + b2 (Betragsquadrat)
1 z∗ a − i · b
= =
z z · z∗ a2 + b2 ; |z| = (z · z∗ ) (Absolutwert)
Flächen- und Volumenberechnung
Körper Oberfläche Volumen
Würfel O = 6a2 V = a · a · a = a3 Quader
Kugel
AO = 2 · (a · b + a · c + b · c)
AO = 4πr
V = a · b · c
2 V = 4
Zylinder(Prisma) O = U
· h +2 · G
π · r3
3
V = G · h
Kreiszylinder
Mantelfläche M
2πr · h + 2πr2 U = Umfang, G = Grundfläche
Figur Bezeichnungen Flächeninhalt A
Quadrat Seitenlänge a A = a2 Rechteck Seitenlängen a, b A = a · b
Dreieck Grundseite g, Höhe h, rechtwinklig
zu g
g · h
A =
2
Kreis Radius r A = πr2 Kreisumfang U = d · π = 2πr
Weiteres
Tangens und Kotangens
tan x = sinx
cosx
cot = cosx
sinx
Exponentialfunktion e 0 = 1
e x+y = e x · e y
e −x = (e x ) = 1
e x
Logarithmusfunktion ln 1 = 0
ln(x · y) = lnx + lny
x
ln = lnx − lny
y
ln (x n ) = n · lnx
ln (e x ) = x
e ln x = x
3