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PHET II Formelsammlung

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Heisenbergsche

Heisenbergsche Unschärferelation ( Übung 10) Bei atomaren Objekten ist der Messprozess unvermeidlich mit einer Beeinflussung der zu messenden Größe verbunden. Größenpaare, welche der Heisnbergschen Unschärferelation unterworfen sind: [∆x] = m : Ortsunschärfe ∆x · ∆px ≥ 2 ∆E · ∆t ≥ 2 ∆φ · ∆l ≥ 2 [∆px] = kg·m s : Impulsunschärfe [] = [ h 2π ] = Js : Wirkungsquantum ∆E : Energieunschärfe ∆t : Zeitunschärfe ∆φ : Winkelunschärfe ∆l : Drehimpulsunschärfe Wellenfunktion ψ(x, t) (Skript 7, 10) Aufenthaltswahr- W(xi) = |〈ψ|ϕ〉| 2 scheinlichkeit = [w] = 1 : Aufenthaltswahr- ψ∗ (x, t)δ(x − xi)dx2 scheinlichkeit des Teilchens = |ψ(xi, t)| 2 W(xi) = 1 3 − [ψ] = m 2 : Wellenfunktion i [ψ0] = m−3 Wellenfunktion freier ψ(x, t) = ψ0 · e 2 : Amplitude i(kx−ωt) Teilchen (har. Welle) i : Imaginäre Einheit [ω] = rads−1 : Kreisfrequenz (Zustandsfunktion) [t] = s : Zeit [k] = 1 m : Wellenzahl [x] = m : Ortsvektor Mathematik der Operatoren (Skript 8) Skalarprodukt von Funktionen: 〈ψi|ψj〉 ≡ ψ ∗ i (r, t)ψj(r, t)dr Normierte Funktionen: 〈ψi|ψi〉 ≡ ψ ∗ i (r, t)ψi(r, t)dr = 1 Orthogonale Funktionen: 〈ψi|ψj〉 ≡ ψ ∗ i (r, t)ψj(r, t)dr = 0 Orthonormales Funktionssystem: Eigenwertgleichung von O : ϕi: Eigenfunktion von Ô Ôϕi = kiϕi ki: zu ϕi gehörende Eigenwerte von Ô Bedingung: Seien  und ˆ B lin. herm. Operatoren, dann: Def. Addition von Operatoren (  + ˆ B)ϕ = Âϕ + Âϕ (kommutativ) Def. Multiplikation von Operatoren (  ˆ B)ϕ = Â( ˆ Bϕ) (nicht immer kommutativ) Def. Kommutator von 2 Operatoren [ Â, ˆ B] ≡ (  ˆ B − ˆ BÂ)ϕ ϕ kann nur dann Eigenfunktion von  und ˆ B sein, wenn [ Â, ˆ B] = 0 Quantenmechanischer Erwartungswert: 〈O〉 = 〈ψ| Ôψ〉 = ψ∗Ôψdx (Durchschnitt) Skript Postulate 1-4 II.09.06 Quantenmechanische Unschärfe ∆O = 〈 Ô2 〉 − 〈 Ô〉2 (Streuung) Skript II.09.04 8

Operatoren (Skript 8-10) Physikalische Größen Operatoren Ort ˆx =: x· Zeit ˆt =: t· Impuls ˆpx =: ∂ · i ∂x Kreisort ˆr =: r· Drehwinkel ˆ φ =: φ Drehimpuls Lz ˆ =: ∂ i ∂φ Energie Ê =: − ∂ i ∂t Energie (Hamilton) ˆ H =: ˆ T + ˆ V = ˆp 2 x 2m + ˆ V POSTULATE Postulate 1 2 3 4 5 6 7 Skripte 8 9 10 15 Aussage 8 9 Skript 11 Zusammen- 17 fassung Schrödinger Gleichungen (Skript 10, 11) (Giancoli 1314) Zeitabhängige Form Zeitunabhängige Form − 2 ∂ 2m 2ψ(x, t) ∂x2 + Epot(x) · ψ(x, t) = i ∂ψ(x) ∂t − 2 d 2m 2ψ(x) dx2 + Epot − · ψ(x) = Eψ(x) 2 ∂ i ∂t ψn(x, t) = − 2 ∂ 2m 2 + V (x, t) ψn(x, t) ∂x2 − 2 d 2m 2 + V (x) ϕn(x) = Enϕn(x) dx2 Phasengeschwindigkeit vph = ω k En −i ψn(x, t) = ϕn(x)e t Freie und gebundene Zustände (Skript 11) Freies Teilchen Epot = 0 ⇒ Eges = Ekin ( Übung 6) = · k 2m Gruppengeschwindigkeit vg = 2 · vph = · k m Energie E = · ω = 2 · k 2 Potentialansatz 2m [vph] = m/s [k] = 1/m Wellenzahl [vg] = m/s [m] = kg Masse [E] = J [ω] = Hz Winkelgeschwindigkeit Der Potentialtopf (Skript 12 - Übung 6) Endlich hoher Potentialtopf 0 für |x| < V (x) = L 2 V0 > 0 für |x| ≥ L wobei 0 < E < V0 bei gebundenen Zuständen / diskretem Spektrum gilt 2 9

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