Elementare Zahlentheorie - Fachbereich Mathematik - Universität ...

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c. p ∈ P ⇐⇒ p | (p − 1)! + 1 ?
Der Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie klärt im Prinzip auf welche
Weise eine ganze Zahl multiplikativ zerlegt werden kann. Die vollkommenen Zahlen
setzen diese multiplikative Zerlegung mit einer additiven Zerlegung in Beziehung.
Man kann aber auch eine Vielzahl anderer additiver Zerlegungen einer ganzen Zahl
betrachten, etwa indem man Primzahlen zuläßt, die nicht notwendigerweise Teiler
der Zahl sind.
Frage G:
a. Ist jede gerade Zahl z ≥ 4 Summe zweier Primzahlen?
b. Welche ungeraden Zahlen sind Summe zweier Primzahlen?
Man kann sich aber auch gänzlich von den Primzahlen lösen und andere Bedingungen
an die Summanden stellen.
Frage H: (Kapitel 4 + 8) Welche Zahlen n ∈ N lassen sich als Summe zweier
Quadratzahlen darstellen, d.h. für welche n ∈ N hat die Gleichung
x 2 + y 2 = n
eine Lösung (x, y) ∈ Z 2 über den ganzen Zahlen?
Beschränkt man sich hier auf Zahlen n = z 2 , die selbst Quadratzahlen sind, so erhält
man eine Gleichung
x 2 + y 2 = z 2 ,
die an den Satz von Pythagoras erinnert. Ein Tripel (x, y, z) positiver Zahlen, das
dieser Gleichung genügt, repräsentiert die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks,
wobei z die Länge der Hypothenuse ist. Man nennt solche Zahlentripel deshalb
auch pythagoreische Zahlentripel. (3, 4, 5) ist sicher das bekannteste pythagoreische
Zahlentripel.
y = 4
z = 5
x = 3
Frage I: (Kapitel 8) Kann man alle pythagoreischen Zahlentripel angeben?
Die obige Gleichung läßt sich natürlich in vielfacher Weise verallgemeinern, und stets
können wir die Frage nach ihrer Lösbarkeit stellen.