Elementare Zahlentheorie - Fachbereich Mathematik - Universität ...

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Wir wollen noch mehr Beispiele anführen, geben dabei aber nicht mehr die Zerlegung
an. Zudem ordnen wir sie schematisch, so daß eine gewisse Struktur erkennbar wird:
0 1 2 · 4 5 · ·
8 9 10 · · 13 · ·
16 17 18 · 20 · · ·
· 25 26 · · 29 · ·
32 · 34 · 36 37 · ·
40 41 · · · 45 · ·
· 49 50 · 52 53 · ·
Ein Punkt in der Tabelle deutet an, daß die Zahl nicht Summe zweier Quadrate ist.
Es fällt auf, daß die vierte, die siebte und die achte Spalte leer bleiben. Eine Zahl in
der vierten Spalte hat modulo 8 den Rest 3, analoges gilt für die Zahlen der Spalten
sieben und acht. Um solche Zahlen scheint es also nicht gut bestellt zu sein, bei dieser
Fragestellung. Es wird eines der Hauptanliegen dieser Vorlesung sein, die Zahlen n
vollständig zu klassifizieren, die sich als Summe zweier Quadratzahlen schreiben
lassen (siehe Satz 4.15 und 8.52). Dabei soll klassifizieren bedeuten, daß wir die
Primfaktorzerlegung der zulässigen Zahlen n angeben. Den Fall, daß n eine Primzahl
mit Rest Eins modulo vier ist, behandeln wir in Satz 4.13. Für den allgemeinen Fall
geben wir zwei unabhängige Beweise in Satz 4.15 und in Satz 8.52.
Zu Frage I: Wir wollen alle Tripel (x, y, z) positiver ganzer Zahlen bestimmen, die
der Bedingung
x 2 + y 2 = z 2
(3)
genügen. Da diese als ganzzahlige Seitenlängen von rechtwinkligen Dreiecken auftreten,
haben wir sie pythagoreische Zahlentripel genannt. Wir nennen ein pythagoreisches
Zahlentripel teilerfremd, falls es keine Primzahl gibt, die alle drei Zahlen x,
y und z teilt. Aufgrund von (3) sind die drei Zahlen genau dann teilerfremd, wenn
x und y teilerfremd sind. Wir werden weiter unten im Zusammenhang mit linearen
diophantischen Gleichungen den Begriff teilerfremd genauer untersuchen (siehe
Definition 2.1).
Satz 1.27 (Klassifikation pythagoreischer Zahlentripel)
Es seien x, y, z ∈ Z>0 positive ganze Zahlen.
a. Genau dann ist (x, y, z) ein pythagoreisches Zahlentripel, wenn für alle a ∈
Z>0 auch (a · x, a · y, a · z) ein pythagoreisches Zahlentripel ist.
b. Ist (x, y, z) ein teilerfremdes pythagoreisches Zahlentripel, so ist genau eine
der beiden Zahlen x oder y eine gerade Zahl und z ist auf alle Fälle ungerade.
c. Genau dann ist (x, y, z) ein teilerfremdes pythagoreisches Zahlentripel mit ungeradem
x, wenn es positive ganze Zahlen u, v ∈ Z>0 mit
u > v, ggt(u, v) = 1 und u − v ≡ 1 (mod 2)