Elementare Zahlentheorie - Fachbereich Mathematik - Universität ...

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Zudem haben wir in Beispiel 3.8 gesehen, daß dies für q ∈
{2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89} der Fall ist. Dem geübten Auge fällt auf, daß
diese Zahlen Primzahlen sind. Das ist kein Zufall, wie Proposition 1.23 zeigt. Ist
Mq eine Primzahl, so trifft dies auf q notwendigerweise ebenfalls zu. Aber nicht
jede Primzahl q führt auch zu einer Mersenneschen Primzahl:
2 11 − 1 = 2047 = 23 · 89.
Der französische Mathematiker Marin Mersenne gab 1644 eine Liste der Mersenneschen
Primzahlen für 2 ≤ q ≤ 257, die allerdings Fehler enthielt, was nicht so
verwundert, wenn man bedenkt, wie rasch die Zahlen anwachsen. So erkannte er
z.B. nicht, daß
M257=231.584.178.474.632.390.847.141.970.017.375.815.706.539.969.331.281.128.078.915.168.015.826.259.279.871
keine Primzahl ist. Ein verzeihlicher Fehler, wie mir scheint, wenn man bedenkt, daß
ihm keine elektronischen Hilfsmittel zur Faktorisierung zur Verfügung standen. Der
Leser mag sich daran versuchen, die Primfaktorzerlegung von M257 zu finden.
Die größte im März 2010 bekannte Mersennesche Primzahl ist zugleich die größte
zur Zeit überhaupt bekannte Primzahl:
M43.112.609 = 2 43112609 − 1.
Die zugehörige vollkommene Zahl hat fast 13 Millionen Ziffern.
Bislang (Stand März 2010) hat man nur 47 Mersennesche Primzahlen finden können,
und es ist ein weiteres offenes Problem, ob es unendlich viele Mersennesche Primzahlen
gibt! Wer sich an der Suche nach weiteren Mersenneschen Primzahlen beteiligen
möchte, kann dies über das GIMPS-Projekt tun:
http://www.mersenne.org
Proposition 1.23 (Mersennesche Primzahlen)
Ist Mq = 2 q − 1 ∈ P, q ≥ 2, eine Mersennesche Primzahl, so ist q ∈ P eine
Primzahl.
Beweis: Ist q keine Primzahl, so gibt es ganze Zahlen m, n ≥ 2 mit q = m · n.
Dann ist
Mq = ((2 m ) n − 1) = (2 m n−1
− 1) · 2 mi
ein Produkt von zwei positiven Zahlen, die beide größer als 1 sind. Mithin ist Mq
nicht irreduzibel, also keine Primzahl.
Zu Frage E, Teil c.: Wir haben gesehen, daß keine polynomiale Funktion primzahlerzeugend
sein kann und daß die exponentielle Funktion P → Z : q ↦→ 2 q − 1
auch nicht funktioniert. Beides war Pierre de Fermat (1601-1665) bekannt, und er
i=0