Elementare Zahlentheorie - Fachbereich Mathematik - Universität ...

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2) Für p ∈ P und n ∈ Z>0 gilt
n
(α ∗ β) ∗ γ p ) =
0≤k,l≤n
k+l=n
=
0≤k,l≤n
k+l=n
=
0≤i,j,l≤n
i+j+l=n
=
0≤i,k≤n
i+k=n
=
0≤i,k≤n
i+k=n
(α ∗ β) p k · γ p l
0≤i,j≤n
i+j=k
α p i · β p j · γ p l
α p i · β p j · γ p l
0≤j,l≤n
j+l=k
α p i · β p j · γ p l
α p i · (β ∗ γ) p k
= α ∗ (β ∗ γ) p n
und nach Lemma 3.3 stimmen (α ∗ β) ∗ γ und α ∗ (β ∗ γ) deshalb überein.
4) Da o(d) = 0 für alle d = 1, gilt für z ∈ Z>0
(o ∗ α)(z) =
z
o(d) · α = o(1) · α(z) = α(z).
d
1≤d≤z
d | z
Aus der Kommutativität der Faltung folgt zudem α ∗ o = α.
Im Sommersemester 2009 habe ich die Aufgabe gestellt, zu beweisen, daß Z \ {0}
sogar eine Gruppe ist. Den folgenden Beweis der Aussage hat Felix Boos im Anschluß
an seine Prüfung gegeben.
Korollar 3.6
(Z \ {0}, ∗) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element o.
Beweis: Wegen Satz 3.5 reicht es, zu zeigen, daß jedes Element in Z\{0} ein Inverses
besitzt. Sei also 0 = α ∈ Z gegeben. Wir setzen zunächst β(1) := 1, und für p ∈ P
und k ≥ 1 definieren wir rekursiv
β(p k k−1
) := −
i=0
β(p i ) · α(p k−i ). (7)
Damit haben wir eine Funktion β für alle Primzahlpotenzen definiert, und diese
setzen wir zu einer Funktion auf Z>0 fort durch die Vorschrift
β : Z>0 −→ R : z ↦→
β p np(z) .
p∈P