Elementare Zahlentheorie - Fachbereich Mathematik - Universität ...

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D.h. x · y −1 ist eine Nullstelle von t 2 + 1 ∈ Zq[t], was nach Satz 4.13
q ≡ 1 (mod 4) bedingt, im Widerspruch zur Annahme q ≡ 3 (mod q).
2. Fall: q | y: Dann ist auch
q | m − y 2 = x 2 ,
und da q eine Primzahl ist, ist q auch ein Teiler von x. Für die ganzen
Zahlen a = x y
, b = ∈ Z gilt dann
q q
mit
nq
m
q2 = x2 + y2 q2 = a2 + b 2 ∈ Z
m
q2
= nq(m) − 2 = 2k − 1.
Also ist m
q 2 ∈ Mq und m
q 2 ist echt kleiner als m, im Widerspruch dazu,
daß m das Minimum von Mq ist.
Lemma 4.16
Es seien n1, . . . , nk ∈ Z>0 Zahlen, die jeweils Summe zweier Quadratzahlen sind,
dann ist auch ihr Produkt n1 · · · nk Summe zweier Quadratzahlen.
Beweis: Wir führen den Beweis mit Induktion nach k, wobei die Aussage für k = 1
trivialerweise erfüllt ist. Sei also k ≥ 2. Per Induktion wissen wir, da gibt Zahlen
a, b ∈ Z mit
a 2 + b 2 = n1 · · · nk−1,
und nach Voraussetzung gibt es außerdem Zahlen c, d ∈ Z mit c 2 + d 2 = nk. Wir
setzen nun x = ac − bd ∈ Z und y = ad + bc ∈ Z, dann gilt
x 2 + y 2 = (ac − bd) 2 + (ad + bc) 2 = (a 2 + b 2 ) · (c 2 + d 2 ) = n1 · · · nk.
Wir wollen uns nun Frage A, Teil b. der Einleitung zuwenden und beweisen, daß es
unendlich viele Primzahlen p gibt, die der Bedingung von Satz 4.13 genügen. Dazu
erinnern wir uns an die Reduktion modulo p, den Ringhomomorphismus
n
n
φp : Z[t] −→ Zp[t] :
k=0
ak · t k ↦→
k=0
ak · t k ,
der einem Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ein Polynom in Zp[t] zuordnet,
indem die Restklassen der Koeffizienten modulo p betrachtet werden. In den algebraischen
Strukturen haben wir diesen Ringhomomorphismus für beliebige positive
ganze Zahlen p betrachtet, hier können wir uns auf den Fall beschränken, daß p eine
Primzahl ist. Wir wollen eine kürzere Notation einführen:
fp := φp(f) ∈ Zp[t].