Elementare Zahlentheorie - Fachbereich Mathematik - Universität ...

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Beweis: Eine Zahl ist genau dann nicht zu p n teilerfremd, wenn p ein Teiler dieser
Zahl ist. Deshalb ist die Menge der zu p n nicht teilerfremden Zahlen zwischen 1 und
p n gerade
z ∈ Z 1 ≤ z ≤ p n , ggt(z, p) = 1 = p · k 1 ≤ k ≤ p n−1 .
Die Mächtigkeit dieser Menge ist p n−1 und ihr Komplement in
z ∈ Z 1 ≤ z ≤ p n
hat nach Definition die Mächtigkeit ϕ p n , so daß
ϕ p n = p n − p n−1
gilt. Der Rest folgt aus Lemma 3.3, da ϕ nach Satz 3.16 multiplikativ ist.
Korollar 3.18 (Rekursionsformel der Eulerschen ϕ-Funktion)
Die Summatorfunktion der Eulerschen ϕ-Funktion ist i, d.h. für z ∈ Z>0 gilt
ϕ(d) = z.
1≤d≤z
d | z
Durch Umstellen der Gleichung erhalten wir eine Rekursionsformel zur Berechnung
der Werte der Eulerschen ϕ-Funktion:
ϕ(z) = z −
ϕ(d).
1≤d0 übereinstimmen. Dazu wenden wir das Ergebnis von Korollar 3.17 an und
erhalten
(ϕ ∗ e) p n n
) = ϕ p j n j j−1
= 1 + p − p = p n = i p n .
j=0
Bemerkung 3.19
Sowohl die explizite Formel aus Korollar 3.17 wie auch die Rekursionsformel aus
Korollar 3.18 können dazu verwendet werden, die Mächtigkeit der Einheitengruppe
Z ∗ n zu bestimmen, ohne die Elemente explizit anzugeben. Z.B. ist
j=1
|Z ∗ 12| = ϕ(12) = ϕ 2 2 · ϕ(3) = (4 − 2) · (3 − 1) = 4.
Aufgrund von Satz 1.12 wissen wir, daß
Z ∗ 12 = 1,5,7,11 .
Wir wollen hier noch einige Werte von ϕ festhalten:
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ϕ(n) = |Z ∗ n| 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8