Elementare Zahlentheorie - Fachbereich Mathematik - Universität ...

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Da Zp nach Satz 1.12 ein Körper ist, besitzt f höchstens p−1 verschiedene Nullstellen
in Zp. Zugleich folgt aber aus dem Satz von Euler, daß die Elemente
1, . . . ,p − 1 ∈ Zp
Nullstellen von f sind. Also besitzt f genau p−1 verschiedene Nullstellen in Zp und
wir können diese sukzessive abspalten, so daß f vollständig zerfällt:
f = t − 1 · · · t − p − 1 .
Multiplizieren wir die rechte Seite der Gleichung aus und vergleichen nur den konstanten
Koeffizienten, so erhalten wir
−1 = (−1) p−1 · (p − 1)! = (p − 1)!,
da p ungerade ist. Diese Gleichung ist aber gleichwertig zur Aussage des Satzes.
Beispiel 4.10
Die beiden folgenden Beispiele verifizieren die Aussage des Satzes von Wilson:
und
(7 − 1)! = 720 = 7 · 103 − 1 ≡ −1 (mod 7)
(17 − 1)! = 20.922.789.888.000 = 17 · 123.0752.346.353 − 1 ≡ −1 (mod 17).
Unser nächstes Ziel ist es, die Lösbarkeit der diophantischen Gleichung
x 2 + y 2 = p
für Primzahlen p ∈ P zu untersuchen, und wir werden sehen, daß diese eng verbunden
ist mit der Frage, ob das Polynom
t 2 + 1 ∈ Zp[t]
eine Nullstelle besitzt oder nicht, sowie mit Frage A, Teil b. der Einleitung. Für den
Beweis benötigen wir Dirichlets bekanntes Schubfachprinzip sowie einen sich daraus
ergebenden Satz von Thue.
Bemerkung 4.11 (Dirichlets Schubfachprinzip)
Eine Abbildung α : A −→ B endlicher Mengen mit |A| > |B| ist nicht injektiv.
Etwas anschaulicher ausgedrückt bedeutet dies: Werden n Teile auf weniger als n
Schubfächer verteilt, so enthält mindestens ein Schubfach mindestens zwei Teile. ✷
Satz 4.12 (Thue)
Es sei n ∈ Z>0 keine Quadratzahl und a ∈ Z beliebig. Dann gibt es ein (0, 0) =
(x, y) ∈ Z 2 mit
a · x ≡ y (mod n) und − √ n < x, y < √ n.
✷