Elementare Zahlentheorie - Fachbereich Mathematik - Universität ...

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Division mit Rest durch n ist. Wir werden diese Gleichwertigkeit immer wieder in
der Form verwenden, daß
a ≡ b (mod n) ⇐⇒ a hat die Form a = n · k + b für ein k ∈ Z.
Die Kongruenz modulo n ist eine Äquivalenzrelation mit genau n paarweise verschiedenen
Äquivalenzklassen 0,1, . . . ,n − 1, wobei
a = {a + n · z | z ∈ Z}.
Wenn wir verdeutlichen wollen, daß a eine Äquivalenzklasse in Zn ist, so schreiben
wir an statt a. Wir bezeichnen die Menge der Äquivalenzklassen mit
Zn = 0,1, . . . ,n − 1 .
Für zwei Äquivalenzklassen a,b ∈ Zn haben wir eine Addition
und eine Multiplikation
a + b := a + b
a · b := a · b
eingeführt und gezeigt, daß beide unabhängig von der Wahl der Repräsentanten
sind.
Satz 1.12
(Zn,+, ·) ist ein kommutativer Ring mit Eins und die Einheitengruppe von Zn ist
Z ∗ n =
a ∈ Zn ggt(a, n) = 1 .
Insbesondere ist Zn genau dann ein Körper, wenn n prim ist.
Der chinesische Restsatz ist ein Ergebnis der algebraischen Strukturen, das für unsere
Vorlesung von zentraler Bedeutung ist.
Satz 1.13 (Chinesischer Restsatz)
Sind n1, . . . , nk ∈ Z paarweise teilerfremd, so ist die Abbildung
Zn1···nk −→ Zn1 × . . . × Znk : z ↦→ z, . . . ,z)
ein Isomorphismus von Ringen. Sie induziert einen Isomorphismus der Einheitengruppen
Z ∗ n1···nk −→ Z∗ n1 × . . . × Z∗ nk : z ↦→ z, . . . ,z).
Die Surjektivität des Ringisomorphismus bedeutet, daß zu beliebigen a1, . . . , ak ∈ Z
eine Lösung des Kongruenzgleichungssystems
x ≡ a1 (mod n1),
x ≡ a2 (mod n2),
.
x ≡ ak (mod nk).
existiert, und die Injektivität bedeutet, daß sich je zwei Lösungen um ein Vielfaches
von n1 · · · nk unterscheiden.