Elementare Zahlentheorie - Fachbereich Mathematik - Universität ...

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Auf die gleiche Weise können wir für Zahlen zeigen, daß sie nicht vollkommen sind.
Dies leiten wir z.B. aus der Primfaktorzerlegung
und dem daraus resultierenden Wert
σ(52) = 132 − 1
12
52 = 2 2 · 13
· (2 3 − 1) = 168
12
· 7 = 98 = 2 · 52.
Nun sind wir in der Lage, die Charakterisierung gerader vollkommener Zahlen, die
wir in Satz 1.19 gegeben haben, zu beweisen und damit einen Teilaspekt von Frage
C in der Einleitung zu beantworten.
Beweis von Satz 1.19: Setzen wir zunächst voraus, daß a = 2 q −1 eine Primzahl
ist. Dann ist z = 2 q−1 ·a die Primfaktorzerlegung von z und aus Korollar 3.7 erhalten
wir
σ(z) = 2q − 1
2 − 1 · a2 − 1
a − 1 = a · (a + 1) = a · 2q = 2 · z.
Also ist z eine vollkommene Zahl.
Sei nun umgekehrt z eine vollkommene Zahl, d.h. σ(z) = 2 · z = 2 q · a. Nach
Voraussetzung sind 2 q−1 und a teilerfremd, so daß wir mit Proposition 3.7
2 q · a = σ(z) = σ(2 q−1 ) · σ(a) = (2 q − 1) · σ(a)
erhalten. Lösen wir die Gleichung nach σ(a) auf so folgt
Insbesondere gilt dann aber
σ(a) = 2q
2q − 1 · a = 2q − 1 + 1
2q · a = a +
− 1
a
2q − 1 .
b := a
2 q − 1
= σ(a) − a ∈ Z,
da sowohl σ(a) als auch a ganze Zahlen sind. Damit sind sowohl a als auch b positive
Teiler von a, b < a und für die Teilersummenfunktion angewendet auf a gilt
a + b = σ(a) =
d.
1≤d≤a
d | a
Dies ist nur möglich, wenn a und b die einzigen Teiler von a sind, was notwendig
b = 1 zur Folge hat, d.h.
a = 2 q − 1.
Zudem ist eine Zahl mit nur zwei positiven Teilern eine Primzahl.
Statt der Teilersummenfunktion kann man auch die Teileranzahlfunktion oder die
Teilerproduktfunktion betrachten, was wir in der folgenden Aufgabe tun wollen.
✷