Elementare Zahlentheorie - Fachbereich Mathematik - Universität ...

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Lemma 3.3
a. Ist eine multiplikative Funktion α nicht die Nullfunktion, so ist α(1) = 1.
b. Eine zahlentheoretische Funktion α : Z>0 −→ R ist genau dann multiplikativ,
wenn
α(z) =
α p np(z) = α p n1
nk
1 · · · α pk (6)
p∈P
für alle z ∈ Z>0 mit Primfaktorzerlegung z = p n1
1
· · · pnk
k gilt.
c. Zwei multiplikative Funktionen 0 = α, β ∈ Z sind genau dann gleich, wenn
für alle Primzahlen p ∈ P und für alle positiven ganzen Zahlen n ∈ Z>0
α p n = β p n .
Beweis: a. Ist z ∈ Z>0 mit α(z) = 0, so können wir in der Gleichung
1 · α(z) = α(z) = α(1 · z) = α(1) · α(z)
α(z) kürzen und erhalten α(1) = 1.
b. Wir können ohne Einschränkung voraussetzen, daß α nicht die Nullfunktion
ist.
folgt
Ist α multiplikativ und hat z die Primfaktorzerlegung z = p n1
1
α(z) = α p n1
1
· · · α p nk
k
= α p np(z)
p∈P
· · · pnk
k , so
mittels Induktion nach der Anzahl k der Primteiler von z. Beachte dabei, daß
α p np(z) = 1, wenn p ∈ {p1, . . . , pk}.
Nehmen wir nun umgekehrt an, daß (6) gilt und daß a, b ∈ Z>0 mit
ggt(a, b) = 1 und Primfaktorzerlegung
a = p n1
1
· · · pnl
l bzw. b = p nl+1
l+1 · · · pnk
k
gegeben sind. Dann sind p1, . . . , pk paarweise verschieden und a · b hat die
Primfaktorzerlegung
Mithin gilt
α(a · b) = α p n1
1
und α ist multiplikativ.
· · · α p nl
l
a · b = p n1
1
· α p nl+1
l+1
· · · pnk
k .
nk · · · α pk = α(a) · α(b)
c. Sind α und β gleich, so stimmen ihre Werte für p n sicher überein. Stimmen
umgekehrt die Werte von α und β für alle p n mit p ∈ P und n ∈ Z>0 überein,
so gilt nach Teil a. und b. für z ∈ Z>0
α(z) =
α p np(z) =
β p np(z) = β(z).
p∈P
p∈P