Elementare Zahlentheorie - Fachbereich Mathematik - Universität ...

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Aus (15) folgt aber
so daß k = 1 und x 2 + y 2 = p.
a.⇒c.: Sind x, y ∈ Z mit
0 < x 2 + y 2 < 2 · p,
x 2 + y 2 = p, (16)
dann können nicht x und y beide gerade oder beide ungerade sein, da p ungerade
ist. Wir können also ohne Einschränkung annehmen, daß x gerade und
y ungerade ist, d.h. x = 2 · k und y = 1 + 2 · l für gewisse k, l ∈ Z. Dann gilt
aber
p = x 2 + y 2 = 4 · k 2 + 4 · (l 2 + l) + 1 ≡ 1 (mod 4).
c.⇒b.: Ist p ≡ 1 (mod 4), so ist die Zahl
eine gerade Zahl. In Zp gilt
n :=
p − 1
2
p − k = −k
für 1 ≤ k ≤ n, und aus dem Satz von Wilson 4.9 folgt dann
−1 = 1 · 2 · · ·
= 1 · 2 · · ·
= 1 · 2 · · ·
p−1
2
= (−1) n · n! 2 = n! 2 .
·
p+1
2
·
p+3
2 · · · (p − 1)
p−1
2 · p − p−1
2 · p − p−3
2 · · · (p − 1)
p−1
2 · − p−1
2 · − p−3
2 · · · (−1)
Für die letzte Gleichung beachten wir, daß n gerade ist. Insgesamt erhalten
wir damit, daß n! eine Nullstelle von f ist.
Bemerkung 4.14
Der Beweis von Satz 4.13 verwendet das nicht-konstruktive Schubfachprinzip, so daß
er keinerlei Hinweis darauf gibt, wie man eine Lösung von x 2 +y 2 = p finden könnte,
wenn p ≡ 1 (mod 4) ist.
Der Satz macht zudem nur Aussagen über ungerade Primzahlen. Für die einzige
gerade Primzahl p gilt jedoch trivialerweise, daß
1 2 + 1 2 = 2
eine Lösung der betrachteten diophantischen Gleichung ist und daß t 2 + 1 ∈ Z2[t]
die Nullstelle 1 besitzt, während p = 2 ≡ 1 (mod 4). ✷
Damit ist Frage H der Einleitung für Primzahlen geklärt. In Satz 8.52 verwenden
wir die Theorie der Zahlkörper, um für beliebige natürliche Zahlen zu entscheiden,
wann sie Summe zweier Quadratzahlen sind. Den folgenden elementaren Beweis der