Elementare Zahlentheorie - Fachbereich Mathematik - Universität ...

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Beweis: Sind a, b ∈ Z>0 mit ggt(a, b) = 1, so teilt keine Primzahl sowohl a, als
auch b. Mithin können np(a) und np(b) nicht beide ungleich Null sein, so daß
und
Aus (8) folgt
np(a · b) = max{np(a), np(b)} (8)
nP(a · b) =
np(a · b) =
np(a) + np(b) = nP(a) + nP(b). (9)
p∈P
p∈P
µ(a · b) = 0 ⇐⇒ µ(a) = 0 oder µ(b) = 0,
so daß in diesem Fall µ(a · b) = 0 = µ(a) · µ(b). Sind µ(a) und µ(b) beide ungleich
Null, so folgt aus (9)
Mithin ist µ ∈ Z.
µ(a · b) = (−1) nP(a·b) = (−1) nP(a) · (−1) nP(b) = µ(a) · µ(b).
Sei nun p ∈ P und n ∈ Z>0 dann gilt
(µ ∗ e) p n =
n
µ p i · e p n−i = µ(1) + µ(p) = 0 = o p n .
i=0
Damit ist µ ∗ e = o nach Lemma 3.3 und e ∗ µ = o wegen der Kommutativität der
Faltung.
Die zentrale Bedeutung der Möbiusschen µ-Funktion liegt darin, daß sie eine zahlentheoretische
Funktion mit ihrer Summatorfunktion in Beziehung setzt.
Definition 3.13
Für α ∈ Z definieren wir die Summatorfunktion von α als
α ∗ e : Z>0 −→ R : z ↦→
α(d).
1≤d≤z
d | z
Satz 3.14 (Möbiusscher Umkehrsatz)
Ist α ∈ Z eine multiplikative Funktion, dann ist die Summatorfunktion β von α
multiplikativ und es gilt α = β ∗ µ, d.h.
α(z) =
1≤d≤z
d | z
β(d) · µ
z
.
d
Beweis: Da α und e multiplikativ sind, trifft dies nach Satz 3.5 auch auf β = α ∗ e
zu. Zudem folgt aus Proposition 3.12
α = α ∗ o = α ∗ (e ∗ µ) = (α ∗ e) ∗ µ = β ∗ µ.