Vortrag 1 Grundbegriffe der Berechenbarkeitstheorie - Fakultät für ...

Approximationen partiell rekursiven Funktionen
Da Turingmaschinen effektiv und in Schritten arbeiten, kann man effektiv
feststellen, ob eine Turingmaschine M bei Eingabe ⃗x innerhalb einer vorgegebenen
Schrittzahl s stoppt und gegebenfalls den Wert von ϕ M (x) effektiv bestimmen.
Wir benutzen folgende Notation (⃗x = (x 0 , . . . , x m−1 ))
Es gilt:
ϕ e,s (⃗x) = y :⇔ x 0 , . . . , x m−1 , y, e < s & M e stoppt bei Eingabe
⃗x in ≤ s Schritten und ϕ e (⃗x) = y
lim s→∞ ϕ e,s (⃗x) = ϕ e (⃗x)
Das heisst, dass ϕ e,s (⃗x) = ϕ e (⃗x) für alle hinreichend grossen s gilt.
Weiter gilt: ϕ e,s (⃗x) = y ⇒ ∀ s ′ ≥ s [ϕ e (⃗x) = ϕ e,s ′(⃗x) = y]
Die Relationen {(e,⃗x, s) : ϕ e,s (⃗x) ↓} und {(e,⃗x, y, s) : ϕ e,s (⃗x) = y} sind
entscheidbar. (Die Relationen {(e,⃗x) : ϕ e (⃗x) ↓} und {(e,⃗x, y) : ϕ e (⃗x) = y}
sind dagegen nur aufzählbar aber nicht entscheidbar; s. Vortrag 2.)
Seminar Theor. Informatik (WS 2010/11) Grundbegriffe der Berechenbarkeitstheorie 32 / 39