Vortrag 1 Grundbegriffe der Berechenbarkeitstheorie - Fakultät für ...

Rekursionstheorem: Beweisidee
Wir zeigen zunächst, dass es eine rekursive Funktion h : N → N gibt mit
(∗) ϕ h(x) = ϕ ϕx (x)
(wobei für x mit ϕ x (x) ↑ die Funktion ϕ ϕx (x) die nirgends definierte Funktion sei).
Die Funktion ψ(x, y) = ϕ ϕx (x)(y) ist partiell berechenbar. Nämlich, bei
Eingabe (x, y) berechne zunächst ϕ x (x) und dann - falls ϕ x (x) ↓ - ϕ z (y)
wobei z = ϕ x (x).
Nach der C-T-These ist ψ also partiell rekursiv und es gibt einen Index e mit
ψ = ϕ (2)
e .
Nach dem s-m-n-Theorem gilt daher für die rekursive Funktion S 1 1
ϕ S 1
1 (e,x)(y) = ϕ (2)
e (x, y) = ψ(x, y) = ϕ ϕx (x)(y)
Die durch h(x) := S1 1 (e, x) definierte rekursive Funktion h erfüllt daher die
Bedingung (∗).
Seminar Theor. Informatik (WS 2010/11) Grundbegriffe der Berechenbarkeitstheorie 38 / 39