Vortrag 1 Grundbegriffe der Berechenbarkeitstheorie - Fakultät für ...

s-m-n-Theorem
SATZ (s-m-n-Theorem). Für alle m, n ≥ 1 gibt es eine rekursive Funktion S m n
mit
(∗) ϕ (n)
S m n (e,y1,...,ym)(x 1, . . . , x n ) = ϕ (m+n)
e (y 1 , . . . , y m , x 1 , . . . , x n ).
BEWEISIDEE. Ein Berechnungsverfahren für S m n
sieht wie folgt aus:
Eingabe: e, y 1 , . . . , y m
Rekonstruiere zunächst aus e die Maschine M e .
Definiere hieraus eine Maschine M ′ , die zunächst links des Arbeitsfeldes die
Unärdarstellungen von y 1 , . . . , y m schreibt (also eine Eingabe (x 1 , . . . , x n ) zu
(y 1 , . . . , y m , x 1 , . . . , x n ) erweitert) und dann wie M e arbeitet.
Es gilt also: ϕ M ′(x 1 , . . . , x n ) = ϕ (m)
e (y 1 , . . . , y m , x 1 , . . . , x n ).
Berechne die Gödelnummer gn(M ′ ) von M ′ und setze
S m n (e, y 1 , . . . , y m ) := gn(M ′ ).
Offensichtlich ist S m n
berechenbar - also nach C-T-These rekursiv - und erfüllt (∗).
Seminar Theor. Informatik (WS 2010/11) Grundbegriffe der Berechenbarkeitstheorie 36 / 39