Vortrag 1 Grundbegriffe der Berechenbarkeitstheorie - Fakultät für ...
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Gödelnummerierungen <strong>der</strong> partiell rekursiven Funktionen<br />
DEFINITION. Eine Gödelnummerierung o<strong>der</strong> Standardaufzählung <strong>der</strong> m-st.<br />
partiell rekursiven Funktionen ist eine universelle Funktion ψ <strong>für</strong> diese Klasse (d.h.<br />
eine (m + 1)-st. partiell rekursive Funktion ψ, <strong>der</strong>en Zweige gerade die m-st.<br />
partiell Funktionen sind) mit folgen<strong>der</strong> Eigenschaft:<br />
Zu je<strong>der</strong> (m + 1)-st. partiell rekursiven Funktion ˆψ gibt es eine total rekursive<br />
Funktion h : N → N mit ˆψ e = ψ h(e) <strong>für</strong> alle e (h heisst Übersetzungsfunktion von<br />
ˆψ nach ψ).<br />
SATZ. ϕ (m) ist eine Gödelnummerierung <strong>der</strong> m-st. partiell rekursiven Funktionen.<br />
BEWEISIDEE. Aus einer Turingmaschine M zur Berechnung von ˆψ kann man<br />
effektiv Turingmaschinen M ′ e angeben, die ˆψ e berechnen. (Nämlich M ′ e schreibt<br />
zunächst 1 e vor die gegebenen Eingaben und simuliert dann M.) Die Funktion h<br />
zur Berechnung des Index von M ′ e ist daher berechenbar und damit nach<br />
C-T-These rekursiv. Nach Definition gilt aber ˆψ e = ϕ M ′ e<br />
= ϕ Mh(e) = ϕ h(e) .<br />
Seminar Theor. Informatik (WS 2010/11) <strong>Grundbegriffe</strong> <strong>der</strong> <strong>Berechenbarkeitstheorie</strong> 34 / 39
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