Vorlesungsskript (pdf): Analysis II

Wir werden statt ∫ f(x) dx oft kürzer ∫ f dx oder auch nur ∫ f schreiben.
Die Abbildung f ↦→ ∫ f ist offenbar eine Linearform auf dem komplexen Vektorraum
T – dies folgt unmittelbar aus unserer Definition von ∫ f.
Ist f eine komplexwertige Treppenfunktion, so sind ihr Realteil Re f und ihr Imaginärteil
Im f ebenfalls Treppenfunktionen. Aus f = (Ref) + i(Im f) folgt mittels
der Linearität des Integrals:
∫ ∫ ∫
(1.3) f dx = (Re f) dx + i (Im f) dx, f ∈ T .
Aus (1.2) liest man ferner leicht die folgenden Eigenschaften des Integrals ab:
(i) Ist f ∈ T reellwertig, so ist ∫ f dx ∈ R.
(ii) Ist f ∈ T reellwertig, und ist f(x) ≥ 0 für alle x ∈ R, so ist ∫ f dx ≥ 0.
(iii) Das Integral erfüllt die folgende Dreiecksungleichung“:
” ∫
∫
∣ f(x) dx∣ ≤ |f(x)| dx für alle f ∈ T .
Mittels der Linearität des Integrals läßt sich (ii) übrigens wie folgt verallgemeinern:
(ii ′ ) Sind f, g ∈ T reellwertig, und ist f ≥ g (d.h. f(x) ≥ g(x) für alle x ∈ R), so
ist
∫ ∫
f dx ≥ g dx .
Aus f ≥ g folgt nämlich (f − g) ≥ 0, also nach (ii)
∫ ∫ ∫
0 ≤ (f − g) dx = f dx −
g dx .
Definitionen. Ist [a, b] ein kompaktes Intervall, und ist f ∈ T , so ist auch 1 [a,b] f ∈
T , und wir definieren das Integral von f von a nach b durch
∫ b ∫
f(x) dx := 1 [a,b] f dx.
a
Für eine beliebige, nichtleere Menge X bezeichne B(X) die Menge aller beschränkten
Funktionen f : X〉 C. Offenbar bildet B(X) einen linearen Teilraum des Raumes C X .
Für f ∈ B(X) ist dann
wohldefiniert, und es gilt insbesondere
‖f‖ u := sup{|f(x)| : x ∈ X} ∈ R + 0
(1.4) |f(x)| ≤ ‖f‖ u für alle x ∈ X.
10