Vorlesungsskript (pdf): Analysis II

(ii) Ist f ∈ R reellwertig, so ist ∫ b
f dx ∈ R.
a
Ist zusätzlich f ≥ 0, so ist ∫ b
f dx ≥ 0. D.h., aus f, g ∈ R, f ≤ g, folgt
a
Ferner gilt
∫ b
a
f dx ≤
∫ b
a
g dx.
∫ b
1 dx = b − a. (Normierung)
a
(iii) Es gilt die Dreiecksungleichung“
” ∫ b
∫ b
∣ f dx
∣ ≤ |f| dx, f ∈ R .
(iv) Sind a, b, c ∈ R mit a ≤ b ≤ c, so gilt für f ∈ R:
(1.7)
Beweis.
∫ c
a
f dx =
∫ b
a
a
f dx +
∫ c
b
a
f dx.
(Monotonie)
(Bereichsadditivität)
(i) Sind (f n ) n bzw. (g n ) n Folgen in T , welche gleichmäßig gegen f bzw. g konvergieren,
so folgt mittels Bemerkung 1.5:
Somit ist
lim ‖(αf + βg) − (αf n + βg n )‖ u = 0.
n→∞
∫ b
a
(αf + βg) dx = lim
= lim
n→∞
(α
= α lim
= α
∫ b
a
∫ b
n→∞
a
∫ b
a
f dx + β
n→∞
∫ b
f n dx + β
(αf n + βg n ) dx
a
∫ b
a
f n dx + β lim
∫ b
a
g n dx)
n→∞
∫ b
g dx .
a
g n dx
(ii) Ist f ∈ R reellwertig, und ist f der gleichmäßige Limes der Folge (f n ) n aus T ,
so konvergiert wegen ‖f − Re(f n )‖ u := ‖Re(f − f n )‖ u ≤ ‖f − f n ‖ u auch die
Folge (Ref n ) n aus T gleichmäßig gegen f, d.h. man kann o.B.d.A. annehmen,
daß die Folge (f n ) n aus reellwertigen Funktionen besteht. Damit ist
∫ b
a
f dx = lim
n→∞
∫ b
a
f n dx ∈ R.
Ist zusätzlich f ≥ 0, so kann man, indem man f n durch max{0, f n } ersetzt,
zusätzlich f n ≥ 0 für alle n annehmen, so daß ∫ b
f dx ≥ 0 folgt.
a
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