Vorlesungsskript (pdf): Analysis II

Setzen wir schließlich
∑l+1
∑l+2
ϕ := ϕ j + f(ξ j )1 {ξj } ,
j=0 j=0
so ist ϕ ∈ T , und es gilt offenbar
‖f − ϕ‖ u ≤ ε .
Insbesondere erhalten wir auf diese Weise zu jedem ε = 1/n, n ∈ N, n ≥ 1, ein ϕ n
in T mit ‖f − ϕ n ‖ u ≤ 1/n . Damit ist f ∈ R.
Q.E.D.
Es sei [a, b] ein kompaktes Intervall. Eine Funktion f : [a, b] → C heiße auf [a, b]
integrierbar, falls die durch
{
f(x), falls x ∈ [a, b],
˜f(x) :=
0, falls x /∈ [a, b],
definierte Funktion ˜f, die sogenannte triviale Fortsetzung von f, in R liegt. Die
komplexe Zahl
∫ b
a
f(x) dx :=
heißt das Riemannsche Integral von f.
∫ b
a
˜f(x) dx
Satz 1.9 zeigt, daß jede (stückweise) stetige Funktion auf [a, b] integrierbar ist. Genauer
zeigt der Beweis sogar folgendes:
Sind x 0 = a < x 1 < · · · < x n = b Punkte in [a, b], welche eine Zerlegung des
Intervalls [a, b] in die Teilintervalle I j := [x j , x j+1 ] der Länge ∆ j := x j+1 −x j liefern,
und sind b j ∈ I j , j = 0, . . .,n − 1, beliebige Stützstellen im Intervall I j , so läßt
sich zu diesen Daten die Riemann-Summe zu f der Gestalt
∑n−1
∑n−1
f(b j )(x j+1 − x j ) = f(b j )∆ j ,
j=0
bilden. Zu jedem ε > 0 gibt es dann ein δ > 0, so daß für jede Riemann-Summe mit
Feinheit max ∆ j < δ gilt:
j=0,...,n−1
j=0
(1.9)
∣
∫ b
∑n−1
∣ ∣∣
f(x) dx − f(b j )∆ j < ε.
a
j=0
Das Integral ∫ b
f(x) dx ist also der Grenzwert jeder Folge von Riemann-Summen zu
a
f, deren Feinheiten gegen Null streben!
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