Vorlesungsskript (pdf): Analysis II

Kapitel 2
Normierte Vektorräume
2.1 Grundlegende Begriffe
Definitionen. Sei E ein Vektorraum über K = R oder K = C (im folgenden kurz
Vektorraum“genannt). Unter einer Norm auf E versteht man eine Abbildung
”
‖ · ‖ : E → R
mit folgenden Eigenschaften: Für alle x, y ∈ E und λ ∈ K gilt
(a) ‖x‖ ≥ 0;
(b) ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0;
(c) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖;
(d) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖.
(Dreiecksungleichung)
Diese Eigenschaften ähneln denen des Absolutbetrags | · | einer reellen oder komplexen
Zahl, und in der Tat ist dieser eine Norm auf E = R bzw. E = C. Ein
weiteres Beispiel ist die Supremumsnorm ‖ · ‖ u auf dem Vektorraum E = B(X) aller
beschränkten Funktionen auf einer nichtleeren Menge X (siehe Bemerkungen 1.5).
Ein normierter Vektorraum ist ein Paar (E, ‖ · ‖), bestehend aus einem Vektorraum
E und einer Norm ‖ · ‖ auf E. Ist aus dem Kontext klar, um welche Norm es
sich handelt, so schreibt man meist nur E anstelle des Paares (E, ‖ · ‖).
Eine Folge (x j ) j in E heiße konvergent mit Grenzwert x ∈ E (in Zeichen : x j → x
oder x = lim
j→∞
x j ), wenn es zu jedem ε > 0 ein j 0 = j 0 (ε) ∈ N gibt so, daß gilt:
‖x − x j ‖ < ε für alle j ≥ j 0 .
Sie heiße Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε > 0 ein j 0 = j 0 (ε) ∈ N gibt so, daß
gilt:
‖x j − x k ‖ < ε für alle j, k ≥ j 0 .
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