Vorlesungsskript (pdf): Analysis II

Für jedes ε > 0 gilt nämlich offenbar
|f n (x) − f(x)| ≤ ε für alle x ∈ X
genau dann, wenn
‖f n − f‖ u ≤ ε.
1.3 Erweiterung des Integrals
Wir wollen nun das Integral auf eine größere Klasse von Funktionen erweitern. Dazu
beobachten wir folgende Konsequenz aus Lemma 1.4:
Lemma 1.6 Es seien a, b ∈ R mit a ≤ b. Ist f ∈ C R der gleichmäßige Limes einer
Folge von Treppenfunktionen (f n ) n∈N , so bildet die Folge der Integrale ( ∫ b
f a n dx)
∫ n∈N
b
eine Cauchy-Folge in C. Insbesondere existiert der Grenzwert I = lim n→∞ f a n dx.
Dieser hängt nur ab von f, nicht jedoch von der approximierenden Folge (f n ) n∈N .
Beweis. Sei nun ε > 0, und es gelte (1.5). Dann gibt es ein n 0 ∈ N, so daß gilt:
‖f − f n ‖ u < ε/2 für alle n ≥ n 0 .
Für n, m ≥ n 0 erhält man somit mittels Bemerkung 1.5
(1.6)
‖f n − f m ‖ u
= ‖(f − f n ) − (f − f m )‖ u
≤ ‖f − f n ‖ u + ‖f − f m ‖ u < ε 2 + ε 2 = ε.
Die Folge (f n ) n bildet also eine gleichmäßige Cauchy-Folge“. Für n, m ≥ n ” 0 folgt
zusammen mit Lemma 1.4 :
∣
∫ b
a
f n dx −
∫ b
a
f m dx∣ =
≤
∣
∫ b
a
(f n − f m ) dx∣
(b − a)‖f n − f m ‖ u < (b − a)ε.
Dies zeigt, daß die Folge ( ∫ b
a f n dx) n∈N eine Cauchy-Folge in C bildet. Sei
I := lim
n→∞
∫ b
a
f n dx.
Sei ferner (g n ) n eine weitere Folge in T , welche gleichmäßig gegen f konvergiert, und
∫ b
sei J = lim g
n→∞ a n dx.
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