Vorlesungsskript (pdf): Analysis II

Satz 1.9 R enthält alle stückweise stetigen im Unendlichen verschwindenden Funktionen
auf R.
Der Schlüssel zum Beweis dieses Satzes liegt in der folgenden Definition und dem
anschließenden Satz.
Definition. Es sei A ⊂ R (oder auch A ⊂ C). Die Funktion f : A → C heiße
gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ = δ(ε) > 0 gibt, so daß gilt:
(1.8) |f(x) − f(y)| < ε für alle x, y ∈ A mit |x − y| < δ .
Offenbar ist eine gleichmäßig stetige Funktion f : A → C stetig auf A; die Umkehrung
hiervon ist jedoch falsch.
Beispiel. Die Funktion f(x) = sin 1 ist stetig auf x R+ , jedoch nicht gleichmäßig
stetig. Für x n := 1 , y 2πn n := 1 , n ∈ N, n ≥ 1, gilt nämlich:
2πn+ π 2
und
|f(x n ) − f(y n )| = |0 − 1| = 1,
|x n − y n | =
π/2
(2πn)(2πn + π 2 ) → 0
für n → ∞. Zu ε = 1 kann es hier also kein δ > 0 mit der Eigenschaft (1.8) geben.
Theorem 1.10 Ist I ⊂ R ein kompaktes Intervall, so ist jede stetige Funktion
f : I → C gleichmäßig stetig.
Beweis (durch Widerspruch).
Wir nehmen an, daß f ∈ C(I) nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein ε > 0,
sowie zu jedem δ := 1 n (n ∈ N, n ≥ 1) ein Paar x n, y n in I mit |x n − y n | < 1 n und
|f(x n ) − f(y n )| ≥ ε. Dies impliziert insbesondere, daß lim n→∞ |x n − y n | = 0 ist.
Da I ein kompaktes Intervall ist, gibt es nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine
Teilfolge (x nk ) k der Folge (x n ) n , welche gegen ein ξ ∈ I konvergiert. Durch Übergang
zu dieser Teilfolge können wir o.B.d.A. annehmen, daß die Folge (x n ) n bereits gegen
ξ konvergiert. Wegen lim n→∞ |x n − y n | = 0 ist dann auch lim n→∞ y n = ξ.
Da f im Punkte ξ stetig ist, folgt damit:
f(ξ) = lim
n→∞
f(x n ) = lim
n→∞
f(y n ),
also
0 = lim
n→∞
|f(x n ) − f(y n )|.
Dies steht im Widerspruch zu |f(x n ) − f(y n )| ≥ ε, ∀n ≥ 1.
Q.E.D.
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