Vorlesungsskript (pdf): Analysis II

1.5 Integration rationaler Funktionen
1.5.1 Partialbruchzerlegung
Die folgenden Aussagen über rationale Funktionen gehören eher in den Bereich der
Algebra und sollen daher nur kurz skizziert werden.
Sei R = p mit Polynomen p und q eine rationale Funktion auf C. Bezeichnen wir
q
mit GradP den Grad eines Polynoms P, und setzen wir o.B.d.A. Gradq ≥ 1 voraus,
so erhält man mittels Polynomdivision mit Rest leicht folgende Aussage:
Es existieren eindeutige Polynome v und r, so daß
(1.15) p = vq + r und Gradr < Grad q.
Damit ist
(1.16) R = p q = v + r , mit Gradr < Gradq.
q
Satz 1.20 (Zerlegung in Linearfaktoren) Sei P ein Polynom vom Grad n ≥ 1
auf C. Dann gibt es komplexe Zahlen a ≠ 0 und α 1 , . . .,α n , so daß
P(z) = a(z − α 1 ) · · ·(z − α n ), z ∈ C.
Beweis. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt P eine Nullstelle α n ∈ C.
Wenden wir (1.15) an auf p = P und q(z) := (z − α n ), so folgt:
P(z) = v(z)(z − α n ) + c,
wobei c eine komplexe Konstante ist. Wegen P(α n ) = 0 ergibt sich c = 0, d.h.
P(z) = v(z)(z − α n ). Da Gradv = GradP − 1, folgt die Behauptung nun per
Induktion nach dem Grad des Polynoms.
Q.E.D.
Wenden wir diesen Satz auf q in (1.16) an, und fassen wir alle Linearfaktoren (z−α j )
von q mit gleichem α j zusammen, so sehen wir:
Es gibt paarweise verschiedene komplexe Zahlen λ 1 . . .λ m sowie n 1 , . . .n m ∈ N × , so
daß n 1 + · · · + n m = Gradq und
(1.17) q(z) = (z − λ 1 ) n1 · · ·(z − λ m ) nm .
Die Zahl n j bezeichnet man dann auch als die Vielfachheit der Nullstelle λ j des
Polynoms q, und die Polynome (z − λ j ) auch als die Primfaktoren von q.
Da die Polynome
q k (z) := ∏ j≠k(z − λ j ) n j
, k = 1, . . .,m,
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